代数/第 4 章/不等式

代数

代数/第 4 章
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不等式的定义

与等式相反，不等式是一个表达式，它表明两个量不相等或不等于彼此。在现实生活中，我们经常使用不等式而不是等式（例如，这件衬衫比那件衬衫贵 2 美元）。

假设 a 和 b 是实数，有四种基本不等式

a < b --> a “小于” b
示例：2 < 4 ; -3 < 0; 等等。
a > b --> a “大于” b
示例：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等等。
$a\leq b$ --> a “小于或等于” b
示例：如果我们知道 $x\leq 7$ ，那么我们可以得出结论，x 等于任何小于 7 的值，包括 7 本身。
$a\geq b$ --> a “大于或等于” b
示例：相反地，如果 $x\geq 7$ ，那么 x 等于任何大于 7 的值，包括 7 本身。

可能的關係

数轴上的一个数字总是大于它左边的任何数字，小于它右边的任何数字。符号 " $<$ " 用于表示“小于”，符号 " $>$ " 用于表示“大于”。

考虑这条数轴

从数轴上我们可以很容易地看出 3 大于 -2，因为 3 在 -2 的右边（或 -2 在 3 的左边）。我们把它写成 $3>-2$ 。小学老师告诉我，把大于号想象成一个“贪婪的嘴”。这个嘴总是试图吃掉更大的数字。当我看数轴时，我发现大于号和小于号也可以表示数轴两端的箭头。在这种情况下，不等式符号表示箭头，它们指向从第二个数字到第一个数字的方向。如果第二个数字小于第一个数字，那么我必须在数轴上向右移动才能从第二个数字移动到第一个数字（这就是“嘴”指向第一个数字的原因）。类似地，如果第二个数字大于第一个数字，那么我必须在数轴上向左移动（而“嘴”现在指向第二个数字）。我永远记不住老师关于“贪婪的嘴”的经验法则，但当我把符号想象成线段末端的箭头时，运算符的方向对我来说是有意义的。你将如何记住 " $<$ " 用于表示“小于”，符号 " $>$ " 用于表示“大于”？

考虑一个数字 $a$ 和一个常数 $C$ 。下列语句中只有一个可以为真

$a>C$
$a=C$ ，或
$a<C$

这是三歧律。另一种描述方式是，对于一个固定的数字和一个变量，这个变量可以表示小于该数字的数字、与该数字相同的数字，或者大于该数字的数字。当我们使用符号从单词中创建不等式时，我们知道这些语句中只有一个可以为真。

文字题

性质

不等式有四个重要的性质：1. 传递性质：对于任意三个数字 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，如果 $x>y$ 且 $y>z$ ，则 $x>z$ 。

2. 在不等式中，我们可以从两边加或减去相同的值，而不改变符号（即 " $>$ " 或 " $<$ "）。也就是说，对于任意三个数字 $x$ 、 $y$ 和 $p$

如果 $x>y$ ，则 $x+p>y+p$ 且 $x-p>y-p$ 。

3. 我们可以用一个正数乘或除不等式的两边，而不改变符号。例如，如果我们有两个数字 $x$ 和 $y$ ，以及另一个正数 $p$

如果 $x>y$ ，则 $x\times p>y\times p$ 且 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$ 。

4. 当我们用负数乘以或除以不等式的两边时，我们需要改变不等式的符号（即，“ $>$ " 变成 “ $<$ "，反之亦然）。所以如果我们有两个数字 $x$ 和 $y$ ，以及另一个负数 $p$

如果

x>y

，那么

x\times p<y\times p

以及

{\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}

.

现在我们可以继续解决任何线性不等式。

解不等式

解不等式几乎与解线性方程相同。让我们考虑一个例子： $x+4<13$ 。我们所要做的就是从两边减去4。然后我们会得到 $x<9$ ，这就是答案！但是要注意，我们得到的不只是一个答案，而是一组解。任何满足条件 $x<9$ （小于9的任何数）的数都是该不等式的解。使用数轴表示解非常方便

 <-------------------o
 <-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
   6     7     8     9     10    11

注意：圆圈 (o) 表示值 9 不包括在内。稍后，当我们处理小于等于和大于等于（≤ 和 ≥）时，我们将使用 “*” 来表示该值包含在解集中。

让我们尝试另一个更复杂的问题： $3x-2>2(x-3)$ 。首先，你可能想展开右手边： $3x-2>2x-6$ 。然后我们可以简单地重新排列，使所有未知数都在一边（通常是左边）： $3x-2x>-6+2$ 。因此，我们可以轻松获得答案： $x>-4$ .

一元不等式的图。第一个数轴显示 x>3，x<-7，以及 -4<x≤0。第二条线显示析取 x<-2 或 x>2。

这里有一个在求解时不等式方向改变的例子：解 $4-6x>22$ .

首先从两边减去 4： $-6x>18$ .
现在用 -6 除以，改变不等式的方向： ${\frac {-6x}{-6}}<{\frac {18}{-6}}$ .

因此，不等式的解是 $x<-3$ .

与等式不同，不等式通常有无限多个解。

$x>A\!\$ 表示 x **大于** A

$x<A\!\$ 表示 x **小于** A

特殊情况 - 乘以 -1

将不等式的两边乘以或除以负数的规则指出，你还需要改变不等式的方向。看一下不等式 -1 < 1。让我们将它一般化地改写为 -1 op 1，尽管我们知道运算符应该是 <。现在将不等式的两边乘以 -1。你得到 (-1)*(-1) op (1)*(-1)。化简后得到 1 op -1。为了使该语句成立，运算符现在需要是 >。

如果我们想要，我们可以将乘以负数改为两个运算：[(-1)*(数字)][-1 < 1][(数字)*(-1)]。这可能看起来很明显，因为我们知道，要将一个数字变成它的相反数，只需要乘以 -1。但是，乘以 -1 是什么导致我们必须改变不等式运算符的方向呢？如果你在数轴上用数字 1 表示乘法，你会发现你所做的只是将 x（你正在乘的数字）个单位向零的 *右侧* 移动。

TODO：需要图形

同样，如果你在数轴上用数字 -1 表示乘法，你会发现你需要将 x（你正在乘的数字）个单位向零的 *左侧* 移动。

TODO：需要图形

现在想想等式和不等式之间的区别。如果你知道 x = y 为真，那么你也知道 x-y = 0。如果你知道 x > y，那么你就会知道两件事：x - y > 0（大数 - 小数为正），以及 y - x < 0（小数 - 大数为负）。如果我们用 1 乘以 x > y，我们仍然得到 x > y。如果我们通过从等式的两边减去 y 来将 y 移到等式的左侧，我们得到 x - y > 0。我们知道这是真的。另一方面，当我们用 -1 乘以 x > y 并且不改变不等式的方向时，我们得到 -x > -y。当我们通过从等式的两边加上 y 来将 y 移到等式的左侧时，我们得到 y - x > 0。我们知道这不是真的。在之前的步骤中，我们需要说 -x < -y，因为即使两个数字都是负数，-x 也比 -y 更靠左侧，因此更小。

解代数题可能会变得自动化，但重要的是你要牢记规则成立的原因，这样你就可以在意外遗漏规则的一部分时发现自己。

特殊情况 - 分母包含变量的不等式

例如，考虑不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在这种情况下，不能将等式的右边乘以 (x-1)，因为 x 的值未知。由于 x 可能为正或负，你无法知道是否将不等式符号保留为 <，还是将其反转为 >。解决此类不等式的方法包括四个步骤

找出分母何时等于 0。在这种情况下，它是当 $x=1$ .
假设不等式符号是 = 符号，并按此方式进行求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，因此 $x=2$ .
在数轴上绘制点 $x=1$ 和 $x=2$ ，并用一个未填充的圆圈，因为原始方程包含 < 符号（注意，如果原始方程包含 <= 或 >=，则它将是一个填充的圆圈）。你现在有三个区域，它们被未填充的圆圈隔开。这些区域是： $x<1$ ， $1<x<2$ ，以及 $x>2$ .
独立地测试每个区域。在这种情况下，通过在这个区域中选择一个点（例如 x=1.5）并在原始不等式中尝试它，来测试不等式对于 1<x<2 是否成立。对于 x=1.5，原始不等式不成立。现在，尝试 x>2（例如 x=3）。在这种情况下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 x>2。