代数/函数

代数

另见: 微积分/函数, 离散数学/函数和关系

代数
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函数作为盒子

函数是另一种用数学方法描述某些事物的途径。它们通常被描述为一个两端开口的盒子中的机器；你从一端放入一些东西，在中间发生一些事情，然后从另一端出来一些东西。函数是盒子内部的机器，它由它对任何输入执行的操作定义。

假设机器有一个刀片，它会将你放入的任何东西切成两半，并将其中一半从另一端送出。如果你放进去一根香蕉，你就会得到半根香蕉。如果你放进去一个苹果，你就会得到半个苹果。

关于这台机器的一个好问题可能是，另一半水果发生了什么？但是，由于这是代数，进入和走出函数的东西将是数字，因此我们很确定盒子不会被数字填满并破裂。让我们将该函数定义为接受你的输入并将其切成两半，即除以二。如果你放入 2，你将得到 1。如果你放入 57，你将得到 28.5。函数机器允许我们改变表达式。函数通常用单个字母命名。我们将这个叫做 h，代表 half（一半）。（我们选择的字母没有什么特别之处——我们也可以称这个函数为 f。这个字母不必代表任何东西。）

现在我们需要符号。要将 2 放入函数中，我们写 $h(2)$ （读作 h of 2）。我们知道

$h(2)=1$

我们还可以计算

$h(57)=28.5$

使用代数符号，我们可以描述这台机器的功能为

$h(x)={\frac {x}{2}}$

与其列出我们可以放入机器的所有东西，我们用变量 $x$ 来表示它们。当我们写 $h(x)$ 时，我们的意思是我们将 $x$ 送入机器，它被切成两半。使用这种形式，我们不必计算当我们放入 57 个苹果或橘子时从机器出来的半数。我们知道，当我们将 57 或任何东西放入我们的机器时，只有 28.5 这些东西会从另一端出来。当使用代数符号来指定关系时；我们创建了一些称为代数函数定义的东西。（这个例子说明了数学与科学和工程之间的区别。由于这是一个假想的机器，我们只需要指定从盒子另一端出来的是什么。在真实的机器中，我们还需要考虑如何处理没有从另一端出来的部分）。

练习题

在指数中使用 ^

对于第 1-6 题，使用代数来定义所描述的函数。

Example: x) Three-quarters of a number
 Answer:  $f(x)=3x/4$

将数字通过函数盒的过程称为对该数字求函数值。对于第 7-22 题，求出给定数字的所描述函数的值。

Example: x)  $f(x)=3x-4$ 
 a)  $f(0)$  b)  $f(4)$ 
 c)  $f(1/3)$   d)  $f(1/2)$ 
 
 Answer: a)  $f(0)=3(0)-4=-4$    b)  $f(4)=3(4)-4=8$ 
 c)  $f(1/3)=3(1/3)-4=-3$  d)  $f(1/2)=3(1/2)-4=-5/2$

f(x)=10x

f(1)=

f(1/2)=

f(3.5)=

f(-1)=

g(x)=3x-1

g(4)=

g(2/3)=

g(1.1)=

g(-3)=

h(x)=x^{2}

h(7)=

h(3/5)=

h(5.3)=

h(-6)=

i(x)=1/(x-4)

i(5)=

i(2/3)=

i(7.25)=

i(0)=

函数作为关系

函数也可以被认为是关系的子集。关系是集合中数字之间的联系。

换句话说，你输入的每个数字都与你输出的每个数字相关联。区别在于在函数中，每个“输入”数字都与一个“输出”数字相关联，而在关系中，“输入”数字可能与多个或零个“输出”数字相关联。这是关于函数的一个重要事实。请注意，上面图表中所示的关系不是函数，因为它不满足此要求，不像下面第二个图表中所示的关系，它是一个函数。

所有函数都是关系。并非所有关系都是函数。

练习题

定义域和值域

定义域

函数的定义域是指该函数定义的“输入”数字的集合。定义域是函数定义的一部分。在上图中的函数中，定义域是{-1,1,7,1/2}。

自然定义域是指代数定义的函数中，函数定义的数字的集合。

在大多数代数公式中，x 通常是与定义域相关的变量。

例子

函数 $f(x)={\sqrt {x}}$ 的定义域是 $x\geq 0$ ，因为平方根函数仅在正数时有定义（假设我们只处理实数）。

值域

函数的值域是指对于给定输入，方程的结果或解的集合。一个真正的函数对于每个定义域值只有一个结果。

在大多数代数公式中，y 通常是与值域相关的变量。因此，它也可以表示为f(x)，表示它的值是x 的函数。

例子

函数 $f(x)=x^{2}$ 的值域是 $y\geq 0$ ，因为数字的平方总是正数。

从定义域和值域的角度看函数

同时考虑定义域和值域，函数是指任何数学公式，对于每个输入值都产生一个且仅一个结果。因此，可以说在一个有效的函数中，定义域 (x) 和值域 (y) 具有多对一的关系，因此对于每个给定的定义域值，只有一个值域值作为结果，但反过来不一定如此。这是有道理的，因为结果可以重复，但输入不能重复。

因此，如果 x 是水平方向，y 是垂直方向，那么以 y 为自变量的函数（例如 y = mx + b）将产生一组结果，使得如果在图上的任何点处用垂直线与之相交，它将只穿过图形一次。渐近函数（至少有一个未定义结果）也被认为是有效的，因为它没有穿过图形的多个点。这被称为“垂直线”测试。

定义域和值域这两个术语可以应用于所有关系，而不仅仅是函数。关系是指在一个定义中，定义域中的一个元素映射到值域中的多个元素。我们使用定义域和值域这两个术语来定义函数和关系之间的区别。

函数术语

在谈论或书写函数时，不同的术语被用来描述函数如何工作或它们的功能。

f of x 术语

当我们写 $f(x)$ 时，我们说 f of x。因此，如果我们有一个用方程 $g(x)={\frac {x+2}{7}}$ 定义的函数，那么我们说

g of x 等于 x 和 2 的和除以 7。
或者
g of x 是 x 加 2 全部除以 7。

当我们将一个值（比如 5）代入函数中的 x 时，我们写 $g(5)={\frac {5+2}{7}}={\frac {7}{7}}=1$ ，但我们说

g of 5 等于 1.

代数符号是数学家表达由算术运算符定义的关系的最简单方法，如 $+,-./*,$ 指数和根式。一旦定义了其中一些函数，用函数名和上述函数值进行引用就更容易了。

函数 "value of" 术语

如果我们有一个用方程 $g(x)={\frac {x+2}{7}}$ 定义的函数，那么我们说 g 在 x 处的函数值是 x 和 2 的和除以 7。 这样， $g(5)={\frac {5+2}{7}}={\frac {7}{7}}=1$

分段函数

一个函数，其定义取决于输入。

绝对值函数

f(x)=|x|
或者
$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

可以将 $|x|$ 解释为 x 和 0 之间的无向距离（始终是非负的）。继续， $|x-y|$ 可以解释为数轴上数字 x 和 y 之间的距离。

偶函数和奇函数

偶函数

偶函数定义为一个函数 $f$ ，满足 $f(-x)=f(x)$ 。
从几何意义上讲，偶函数可以定义为关于 y 轴（穿过原点的垂直线）具有镜像对称性的函数。

偶函数的一个例子是 $h(x)=x^{2}$ ，因为 $f(5)=25=f(-5)$ ，并且因为对于所有实数 x，都有 $f(x)=x^{2}=f(-x)$ 。

奇函数

奇函数定义为一个函数 $f$ ，满足 $f(-x)=-f(x)$ 。
从几何意义上讲，奇函数可以定义为关于原点具有 180 度旋转对称性的函数。

一个奇函数的例子是 $f(x)=x^{3}$ ，因为对于所有实数 x，都有 $f(x)=x^{3}=-((-x)^{3})=-f(-x)$ ，例如 $f(2)=2^{3}=8=-((-2)^{3})=-(-8)=-((-2)^{3})=-f(-2)$

复合函数

复合函数 $h$ 可以定义为两个函数 $f$ 和 $g$ 的复合，记为 $h(x)=f(g(x))$ （读作 h of x 等于 f of g of x）或 $h(x)=(f\circ g)(x)$ 。

例子

Let  $f(x)=2x+1$       $g(x)=5x-3$ 
  $h(x)=f(g(x))$ 
  $h(x)=f(5x-3)$ 
  $h(x)=2(5x-3)+1$ 
  $h(x)=10x-6+1$ 
∴ $h(x)=10x-5$

例子

Let  $f(x)=-{\sqrt {16-x}}\,$       $g(x)=4x^{2}\,$ 
 $(f\circ g)(x)=f(4x^{2})\,$ 
 $(f\circ g)(x)=-{\sqrt {16-(4x^{2})}}\,$ 
 $(f\circ g)(x)=-{\sqrt {4(4-x^{2})}}\,$ 
 $(f\circ g)(x)=-{\sqrt {4}}{\sqrt {(4-x^{2})}}\,$ 
 $(f\circ g)(x)=-2{\sqrt {4-x^{2}}}\,$ 
Domain:  $-2\leq x\leq 2$ 
Range:  $-4\leq y\leq 0$

反函数

函数 $g$ 是一个一对一函数 $f$ 的反函数，当且仅当以下条件成立

g(f(x))=x\,

f(g(x))=x\,

函数 $f$ 的逆函数用 $f^{-1}$ 表示。

从几何角度来看， $f^{-1}$ 是 $f$ 关于直线 $y=x$ 的镜像。从概念上讲，使用 *盒子* 类比，函数的逆函数盒子 *撤销* 函数常规盒子的操作。

例子

 $f(x)=2x\,$ 
 $f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}x\,$ 

 $f(f^{-1}(x))=f({\frac {1}{2}}x)\,$ 
 $f(f^{-1}(x))=2({\frac {1}{2}}x)\,$ 
 $f(f^{-1}(x))=x\,$ 


 $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x)\,$ 
 $f^{-1}(f(x))={\frac {1}{2}}(2x)\,$ 
 $f^{-1}(f(x))=x\,$

要找到函数的逆函数，请记住，当我们使用 $f^{-1}(x)$ 作为 $f$ 的输入时，结果是 $x$ 。因此，首先写下 $x=f\left(f^{-1}(x)\right)$ 并求解 $f^{-1}$ 。

例子

Suppose: $f(x)=2x+1\,$ 
Then  $x=f\left(f^{-1}(x)\right)$ 
 $x=2f^{-1}(x)+1\,$ 
 $x-1=2f^{-1}(x)\,$ 
 $f^{-1}(x)={\frac {x-1}{2}}\,$

逆函数的定义域与原函数的值域完全相同。如果原函数的值域受到某种限制，则逆函数需要一个受限的定义域。

例子

 $f(x)={\sqrt {x-1}}\,$          
 $x=f\left(f^{-1}(x)\right)$ 
 $x={\sqrt {f^{-1}(x)-1}}\,$          
 $x^{2}={\sqrt {f^{-1}(x)-1}}^{2}\,$          
 $x^{2}=f^{-1}(x)-1$             
 $f^{-1}(x)=x^{2}+1\,$             
The Range of  $f(x)$  is  $f(x)\geq 0$ . So the Domain of  $f^{-1}(x)$  is  $x\geq 0$ .

一一函数

对于每个输入都存在一个唯一输出的函数。

等价地，我们可以说函数 $f$ 被称为 *一一函数*，如果对于所有 $x,x'\in A,f(x)=f(x')$ 意味着 $x=x'$ ，其中 *A* 是 *f* 的定义域集合，*x* 和 *x'* 都是该集合的成员。

水平线测试
如果没有任何水平线与函数图交于一个以上的位置，则该函数为一一函数。

创建函数

在上一章中，我们回顾了你已经了解的数学知识：数字、变量和关系。我们回顾了数字的类型、对数字可以执行的操作、这些操作的性质以及这些性质如何让你写出表达式，或者如果我们对表达式足够了解，你可以写出定义真实事物的方程和不等式。

在上面的部分中，我们已经了解了函数的概念。首先，我们展示了如何在等号运算符的一侧创建函数，而在另一侧创建表达式。然后，我们查看了使用函数符号的更复杂方法。

一旦你习惯了它们，函数就会让你以不同的方式看待数学。当你用数字思考数学时，你只是在思考一个答案。当你用函数思考数学时，你是在寻找关系，并且你在建立数学模型。

举一个 3x3 平方格和对角线的例子。对角线上的三角形面积是多少？应用面积函数：l x w，然后应用一半函数。

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