代数/第 5 章/坐标 (笛卡尔) 平面
什么是笛卡尔平面？
以“解析几何之父”、17 世纪法国数学家 勒内·笛卡尔 (笛卡尔) 的名字命名，均匀规则网格 (笛卡尔) 坐标是用于绘图的一种系统。许多代数表达式适合图形分析。点的 笛卡尔 图的点位置是通过对沿编号网格线索引数值 (坐标) 来找到的。微不足道的单个 R 数轴包含一个一维的、单个纵坐标的系统，其中所有位置仅存在于该线上。本研究从二维绘图开始（见下图）。绘图和点的位置通过其 '投影' 从两个数轴 (R2 轴) 到页面和平面的任意位置的偏移量来定位和标记。
我们使用两个垂直的编号轴选择笛卡尔平面上点的值或纵坐标。按照惯例，两条轴相交的点在每条轴上都标记为 0，这使得它们交点的纵坐标成为一个特殊的点，称为原点，标记为 (0,0)。通常，水平轴标记为 x，垂直轴标记为 y。一个有序对 (x,y) 指定平面上的点 P 的位置。如果我们不想谈论有序对作为 x 和 y，我们可以将有序对中的第一个变量称为横坐标，第二个称为纵坐标。轴在横坐标为 0 且纵坐标为 0 的地方相交。我们可以概括关于有序对中横坐标和纵坐标的符号，因为当两条轴相交时，它们会形成四个象限。从右上角的象限开始，逆时针移动，象限被标记为 I、II、III 和 IV。在象限 I 中，所有 x 值和 y 值都为正，在 II 中，x 为负而 y 为正，在 III 中，所有值都为负，只有 x 在 IV 中为正。有序对 (0,0) 代表原点，即轴相交的地方。
我们使用轴来定义两组数字之间的关系，我们用变量替换这些数字。关系意味着改变一个变量的值会决定另一个变量的值。我们将变化的变量称为自变量，将值变化的变量称为因变量。通常我们让 x 代表自变量，y 代表因变量，以便我们可以用数学符号模拟 x 和 y 之间的关系。自变量表示的数字集称为定义域。因变量表示的数字集称为值域。一种特殊的关系称为函数。函数是一种关系，其中定义域中的任何值都映射到值域中的一个且只有一个值。
当我们在笛卡尔平面上绘制关系的点时，我们可以确定该关系是否是一个函数——平面上的所有垂线都与我们的图形相交一次且只有一次。函数对于模拟因果关系很有用——其中原因是自变量，而结果是因变量。
| 象限 | x 轴 (横坐标) | y 轴 (纵坐标) |
|---|---|---|
| I | 正 | 正 |
| II | 负 | 正 |
| III | 负 | 负 |
| 负 | 正 | 负 |
正
IV
请注意，笛卡尔平面中唯一特殊的是它包含一个我们称为“原点”的点，并且已标记为 (0,0)。如果我们在二维图形的两个轴上通过原点画出另一个垂直于二维图形的轴，我们可以绘制三维物体 (R3)。想象一根穿过二维图形原点的细而可伸缩的编号导线。通过使用第三个坐标 (X, Y, Z)，我们可以定位空间中高于或低于页面的点。这个想法可以扩展到更高维度（包括时间），并且是理论物理学的一个领域——[[w:弦论| 弦论]] 的基础。确定点
连续的点集可以用图上的直线或曲线来表示，显示连续的配对量如何相互关联。这样的数字或量称为变量。一个函数、关系或方程可以定义当一个输入量变化时，相关的输出量如何变化。然后图可以说明这些变量如何相互关联。自变量是指发送到函数的变量，因为人们可以随意控制或改变它。因变量是来自函数的变量。函数的定义决定了因变量的值取决于自变量的值。
任何有两个变量的方程都可以有效地定义这两个变量之间的关系，并且该关系可以在二维笛卡尔坐标图上绘制。在任何特定的方程、关系或函数定义中，保持不变的数字，即不是变量的数字，通常称为常数。即使一个人不太了解高级代数，一个人也可以通过从定义域中选择一个变量的各种数字并计算另一个变量 (在值域中) 的相应数字来开始了解函数或二元方程或关系在图中的样子，以确定尽可能多的有序对，并将这些点绘制在图上。绘制足够的点后，一个人可能能够通过连接计算出的点来估计连续的关系是什么样子，连接的线是直线或曲线，具体取决于情况。
确定您觉得舒服的尽可能多的点，以在图上绘制此方程。然后在图纸上，在方格网格上绘制 x 轴和 y 轴。然后将 (x,y) 有序对作为点绘制在图上。最后，当您认为已经绘制了足够的点来了解函数形状时，连接这些点以查看函数图是什么样子。如果您不确定图的某一部分，您可以随时计算更多点以填补该部分。绘制图上的点
一个求解单个变量实例的公式、方程或不等式是该变量的隐式关系，并且依赖于该变量，以剩余和自变量的形式表示。一个显式关系是指一个关系，它指出哪个变量是自变量。一个点解是一个值组（每个自变量一个），以及一个相应的计算出的因变量值。共识符号用逗号分隔这些值，并将因变量的值放在有序组中（如果不存在歧义，括号是可选的）。自变量的有效值解集构成关系的定义域，而因变量的有效值解集构成关系的值域。函数是一个关系，它限制了自变量的值，这些值会生成唯一的因变量值。
在此图中，(x,y) 的轨迹是点 (3,4)。
一个完整的图描述了关系的所有可能的点解。'一个' 自变量加上 '一个' 因变量表示一个 '两个' 维度地图（图），它有两个垂直 (正交) 数轴 (轴)，它们在原点 (O) 处相交。按照惯例，第一个坐标与沿着水平轴的偏移量相关，而第二个坐标与沿着垂直轴的偏移量相关 (一个有序对)。
此函数绘图 (部分) 使用二维矩形笛卡尔坐标系，第一个坐标是 横坐标，通常指x 轴，而第二个坐标是 纵坐标，指y 轴。轴的值是数字，它们是R 的元素，并且对R 闭合，并且它们一起构成R2。原点是数字对0,0。正数在右侧和上方递增，负数在左侧和下方递减。符号x,y 是有序对点的常见形式/公式，并绘制在以下图中。