代数/线性方程和函数

代数

什么是线性方程？

在函数 部分，我们讨论了函数如何像一个盒子，它接受一个独立的输入值，并使用数学定义的规则来创建唯一的输出值。输出值取决于放入盒子的值。我们将进入盒子的值称为独立值或域。我们将从盒子出来的值称为因变量或范围。

除非另有说明，否则笛卡尔图中的域为实数。在笛卡尔平面 部分，我们看到了如何通过运行不同的值来识别笛卡尔平面上的点，方法是选择点的第一个 (x) 值作为域，选择第二个 (y) 值作为范围。重述一下：按照惯例，笛卡尔平面上函数的两个变量是 x 表示域，即自变量，y 表示范围，即因变量。变量 y 与 f(x) 相同。数学家认识到这种等价性，但通常更喜欢写 y 因为它更短。由于函数定义具有输入和输出，因此它还必须包含一个等号。本书中的解方程 部分展示了我们在等号两侧可以执行的各种运算，同时仍然保持等价性的概念。在本节中，我们将不同的值代入自变量并求解以找到相关的因变量。例如，如果我们从方程式开始

$y=x$ 我们可以将 -x 添加到等式两边得到方程式 $y-x=x-x$ 然后我们简化为 $y-x=0$ 或者我们可以将 -y 添加到等式两边得到方程式 $y-y=x-y$ 然后我们简化为 $0=x-y$ 由于 $y-x=0\equiv 0=x-y$ 然后 $y-x=0=x-y$ 使用传递性 $y-x=x-y$ 将 x + y 添加到等式两边得到 $(y-x)+(y+x)=(x-y)+(y+x)$ 使用结合律，我们将它更改为 $(y-y)+(x+x)=(x-x)+(y+y)$ 这简化为 $2x=2y$ 并将等式两边除以 2 $2x/2=2y/2$ 简化顺序并显示 $x=y$

我们在上面实际上没有从数学上证明任何东西，但这些运算允许我们操纵方程式，以便将因变量单独放在等号的一侧。然后，我们可以将数字代入自变量以发现这些数字的函数值。然后，我们可以将这些值绘制为笛卡尔平面上的点，并了解如果我们能够同时看到由函数定义的所有点，函数将是什么样子。

$y=0x$

形如 y = C₂ 的方程是线性函数，其一般形式为 y = m x + b，其中斜率 m = 0，常数 C₂ **是** y 轴截距 b（在一般形式中）。此零斜率函数的图形是一条直线，与 y 轴相交于 C₂，包括零，并在 x 的所有 **R** 值（包括正值、负值和零）上无限延伸（见下图）。

此类函数的定义域是 **R**，涵盖所有实数（除非另有规定），但值域只是集合 { c }。方程 y = 0 就是 x 轴。

$0y=x$

方程 x = C₁，其中 x 为单个值 C₁，而 y 为无限制的，可以是所有 **R** 数。x = C₁ 的图形是一条直线，其中 x = C₁，覆盖 y 的所有正值、负值和零值（见下图）。

它的定义域是集合 { C₁ }，值域是集合 **R**（除非另有规定）。x = C₁ 在技术上不是函数（每个 x 值有多个 y 值），而是一个关系。垂直线**没有**斜率（m = 除以零，未定义，正无穷大和负无穷大）。这些是之前所示一般形式的线性方程中唯一不是线性函数的类型。方程 x = 0 **正好**是 y 轴。陡峭接近垂直的线具有非常大的斜率，但仍然是函数。

继续

我们将从考察称为 **线性方程** 的简单函数开始。当定义函数规则的代数表达式中 x 和 y 的所有实例都没有指数时，x 和 y 的所有实例可以合并为两个实例。表达式的图形可以用直线表示。表示函数的方程被认为是具有两个变量的 **线性方程**。以下方程是此类线性方程的简单示例

$y-x=2\,$

由于 y 是因变量，它代表了函数。我们可以将表达式改写为 f(x) - x = 2。如果我们在两边都加上一个 x，则等式性质成立，我们得到表达式 f(x) - x + x = x + 2。简化后得到 f(x) = x + 2。在下表中，我们将为 x 选择 3 个值，然后从 f(x) 计算因变量（y）值。

x 值	y 值（横坐标）	坐标 (x,y)
-1	1	(-1,1)
0	2	(0,2)
1	3	(1,3)

其中 x 和 y 是要在二维笛卡尔坐标图中绘制的变量，如这里所示

此函数等效于之前线性方程的示例 y - x = 2。直线两端箭头表示直线在两个方向上无限延伸。所有具有单个输入变量的线性函数都具有或可以代数地排列成具有以下一般形式

$y=f(x)=mx+b\,$

其中 x 和 y 是变量，f(x) 是 x 的函数，m 是一个常数，称为直线的 **斜率**，而 b 是一个常数，它是 **y 轴截距** 的纵坐标（即函数线与 y 轴相交处的 y 值）。斜率表示直线的陡峭程度。在前面的例子中，y = x + 2，斜率 m = 1，y 轴截距纵坐标 b = 2。y = mx+b 形式的线性函数称为 **斜截式**。

除非另有说明 x 的定义域，否则线性函数的定义域将被假定为所有实数，因此所有线性函数的图形中的直线都在两个方向上无限延伸。同样，在所有实数定义域的线性函数中，线性函数的值域将涵盖 y 的所有实数集，除非斜率 m = 0 并且函数等于一个常数。在这种情况下，值域仅仅是该常数。

相反，如果一个函数具有一般形式 y = mx + b 或可以排列成该形式，则该函数是线性的。具有两个变量 x 和 y 的线性方程具有或可以代数地重新排列成一般形式¹

$Ax+By=C\,$

其中 x 和 y 代表线性变量，字母 A、B 和 C 可以代表任何实数常数，包括正数和负数。反过来，具有两个变量 x 和 y 的方程具有该一般形式，或者可以排列成该形式，只要 A 和 B 不都等于 0，它就是线性的。在前面的方程中，大写字母是为了避免与本章中的其他常数混淆，并与参考 1 保持一致。

如果将前面的方程除以 B（当 B 不为 0 时）并求解 y，可以得到以下形式

$y=(-A/B)x+(C/B)\,$

如果将 -A/B 等于斜率 m，将 C/B 等于 y 轴截距纵坐标 b，可以看出线性方程的一般形式和线性函数的斜截式实际上是可以相互转换的，只是在线性函数中，线性方程形式中的常数 B 不能等于 0。