代数/等式和不等式

代数

解线性不等式涉及找到表达式中量不相等的解。

数轴上的一个数总是比它左侧的任何数都大，比它右侧的任何数都小。符号 "<" 用于表示“小于”，符号 ">" 用于表示“大于”。

例如

<--|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----->
  -5    -4    -3    -2    -1     0     1     2     3     4     5

从数轴上，我们可以很容易地判断出 3 大于 -2，因为 3 在 -2 的右边（或 -2 在 3 的左边）。我们把它写成 $3>-2$（或写成 $-2<3$）。我们也可以推断出任何正数总是大于负数。

考虑任意两个数，a 和 b。下列语句中只有一个是正确的

1. $a>b$,
2. $a=b$，或
3. $a<b$

这就是三等分律。

对于一个未知数的不等式，可能存在很多（有时是无限多个）可能的解。

性质

• 传递性质:

对于任意三个数 $x$，$y$，$z$，如果 $x>y$ 且 $y>z$，则 $x>z$。

• 加法性质:

在不等式中，我们可以对两边同时加或减同一个值，而不改变符号（即“>”或“<”）。也就是说，对于任意三个数字$x$，$y$ 和 $p$，如果 $x>y$，那么 $x+p>y+p$ 和 $x-p>y-p$.

• 乘法性质

我们可以用正数乘或除不等式的两边，而不改变符号。例如，如果我们有两个数字$x$ 和 $y$，以及另一个正数$p$，那么如果 $x>y$，那么 $x\cdot p>y\cdot p$ 和 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$.

当我们用负数乘或除不等式的两边时，我们必须改变不等式的符号（即“>”变为“<”，反之亦然）。所以如果我们有两个数字$x$ 和 $y$，以及另一个负数$p$，那么如果 $x>y$，$x\cdot p<y\cdot p$ 和 ${\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}$.

现在我们可以继续解决任何线性不等式。

解不等式

解不等式与解线性方程几乎相同。让我们看一个例子：$x+4<13$。我们只需要在等式的两边都减去 4。然后我们得到 $x<9$，这就是答案！但是请注意，你得到的不是一个单一的答案，而是一个集合解，即任何满足条件 $x<9$（任何小于 9 的数）的数都可以作为不等式的解。用数轴表示解非常方便

<-------------------o
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
  6     7     8     9     10    11

(注意： 空心圆 ("o") 表示值 9 不包含在解集中，因为该方程的不等式是小于 9，而不是小于或等于 9。当我们稍后处理小于（大于）或等于（≤ 或 ≥）时，我们将使用实心圆 ("●") 来表示该值包含在解集中。)

让我们尝试另一个更复杂的问题：$3x-2\geq 2(x-3)$。首先，你可能想展开等式右侧：$3x-2\geq 2x-6$。然后我们可以简单地重新排列项，使所有未知变量都位于等式的一侧，通常是左侧：$3x-2x\geq -6+2$。因此我们可以很容易地得到答案：$x\geq -4$。此解在下面的数轴上表示。请注意，解需要实心圆 ("●")，因为 $x$ 大于或等于 4。

              ●------------------->
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -6    -5    -4    -3    -2    -1

分母中带有变量的不等式

例如，考虑不等式

${\frac {2}{x-1}}<2\,$

在这种情况下，不能将等式右侧乘以 $(x-1)$，因为 x 的值未知。由于 x 可能为正也可能为负，所以你无法确定是否将不等号保留为 $<$（即小于），或将其反转为 >（即大于）。解决此类不等式的方法涉及四个步骤

1. 找出分母何时等于零。在上面的例子中，当 $x=1$ 时，分母等于零。
2. 假设不等号是 $=$ 号，并像这样求解它：${\frac {2}{x-1}}=2\,$，所以 $x=2$。
3. 在数轴上绘制点 $x=1$ 和 $x=2$，用空心圆表示，因为原始方程包含 <（如果原始方程包含 $\leq$ 或 $\geq$，则会用实心圆表示）。现在你有三个区域：$x<1$，$1<x<2$ 和 $x>2$。
4. 独立测试每个区域。在本例中，通过在该区域中选择一个点（例如，$x=1.5$）并在原始不等式中进行尝试，来测试不等式对 $1<x<2$ 是否成立。对于 x=1.5，原始不等式不成立。所以，尝试 $1>x>2)$（例如，$x=3)$）。在这种情况下，原始不等式成立，因此原始不等式的解为 $1>x>2)$。

复合不等式

复合不等式是由“和”或“或”连接的两个不等式。在“和”不等式中，两个不等式必须都满足。所有可能的解值都将位于两个已定义数字之间，如果这不可能，则复合不等式 simply has no solutions.

考虑以下示例：$x+6\geq 2$ and $x\leq 2$。首先，求解第一个不等式以获得 $x\geq -4$。所有“和”不等式都可以写成一个不等式，例如：$-4\leq$$x\leq 2$（将 x 放在两个 ≤ 或 < 之间，或两者之间，较小的数字在左侧，较大的数字在右侧）。现在，我们可以将该不等式在数轴上绘制为线段。记住，所有 ≤ 或 ≥ 的解都必须用实心圆表示。将此图形解释为“介于 -4 和 2 之间的所有数字，包括 -4 和 2”。

        ●-----------------●
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -6    -4    -2     0     2     4

现在，让我们考虑或不等式。或不等式通常没有一个满足两者的解集。相反，它们通常有两个无限数集，它们是每个不等式的解。因此，或图形定义了哪些数字满足任何一个方程。例如：$x\;<1$ 或 $x-1\geq 2$. 首先，求解第二个不等式中的x，得到$x\geq 3$. 现在，在同一个数轴上绘制这两个不等式。记住要根据情况使用开圆和闭圆。

<-------------o           ●-------->
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -1     0     1     2     3     4

用绝对值解不等式

由于 $'''|x|=|-x|'''$涉及绝对值的不等式必须分成两部分求解。

求解$'''|x-6|<5'''$

第一部分将是$'''x-6<5'''$，这得到$x<11$. 第二部分将是$'''-(x-6)<5'''$，求解后得到$x>1$.

因此，$|x-6|<5$的答案是$1<x<11$

        ●----------------------------><-----------------------------●
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
  0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10    11    12

线性不等式作图

线性不等式的作图与线性函数的作图非常相似。线性不等式写成

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