代数/第 4 章/不等式

代数

代数/第 4 章
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不等式的定义

与方程式不同，不等式是一个表达式，它表明两个量不相等或不等于彼此。在现实生活中，我们经常使用不等式比使用方程式更频繁（例如，这件衬衫比那件衬衫贵 2 美元）。

假设 a 和 b 是实数，有四种基本不等式

a < b --> a "小于" b
例如：2 < 4 ; -3 < 0; 等。
a > b --> a "大于" b
例如：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等。
$a\leq b$ --> a "小于或等于" b
例如：如果我们知道 $x\leq 7$ ，那么我们可以得出结论，x 等于任何小于 7 的值，包括 7 本身。
$a\geq b$ --> a "大于或等于" b
例如：相反地，如果 $x\geq 7$ ，那么 x 等于任何大于 7 的值，包括 7 本身。

可能的关系

数轴上的一个数总是大于它左边的任何数，小于它右边的任何数。符号 " $<$ " 用于表示 "小于"，" $>$ " 用于表示 "大于"。

考虑这条数轴

从数轴上，我们可以很容易地看出 3 大于 -2，因为 3 在 -2 的右边（或 -2 在 3 的左边）。我们把它写成 $3>-2$ 。小学老师告诉我把大于号想成一个“贪婪的嘴”。嘴总是试图吃更大的数字。当我看着数轴时，我可以看到大于和小于符号也可以代表数轴两端的箭头。在这种情况下，不等式符号代表箭头，指示我从第二个数字到第一个数字要走的方向。如果第二个数字小于第一个数字，那么我必须在数轴上向右移动才能从第二个数字移动到第一个数字（这就是为什么“嘴”指向第一个数字）。类似地，如果第二个数字大于第一个数字，那么我必须在数轴上向左移动（“嘴”现在指向第二个数字）。我永远也记不住老师关于“贪婪的嘴”的经验法则，但是当我把符号看成线末端的箭头时，运算符的方向对我来说是有意义的。你怎么记住 " $<$ " 用于表示 "小于"，" $>$ " 用于表示 "大于"？

考虑一个数字 $a$ 和一个常数 $C$ 。以下语句中只有一个可以为真

$a>C$
$a=C$ ，或
$a<C$

这是三歧律。另一种描述方式是，给定一个固定数字和一个变量，该变量可以代表小于该数字的数字，与该数字相同的数字，或大于该数字的数字。当我们使用符号从文字创建不等式时，我们知道这些语句中只有一个可以为真。

文字题

性质

不等式有四个重要的性质：1. 传递性质：对于任意三个数字 $x$ ， $y$ 和 $z$ ，如果 $x>y$ 且 $y>z$ ，那么 $x>z$ 。

2. 在不等式中，我们可以从两边加或减去相同的值，而不会改变符号（即“ $>$ ” 或 “ $<$ ”）。也就是说，对于任意三个数字 $x$ ， $y$ 和 $p$

if $x>y$ ，那么 $x+p>y+p$ 和 $x-p>y-p$ 。

3. 我们可以将两边乘以或除以一个正数，而不会改变符号。例如，如果我们有两个数字 $x$ 和 $y$ ，以及另一个正数 $p$

如果 $x>y$ ，那么 $x\times p>y\times p$ 以及 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$ 。

4. 当我们用负数乘或除不等式的两边时，必须改变不等式的符号（即，" $>$ " 变为 " $<$ "，反之亦然）。所以，如果我们有两个数字 $x$ 和 $y$ ，以及另一个负数 $p$

如果

x>y

，那么

x\times p<y\times p

以及

{\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}

。

现在我们可以继续解决任何线性不等式。

求解不等式

求解不等式与求解线性方程几乎相同。让我们考虑一个例子： $x+4<13$ 。我们只需在两边都减去 4 即可。然后我们得到 $x<9$ ，这就是答案！然而，要注意的是，我们得到的不是一个单一的答案，而是一组解。任何满足条件 $x<9$ （任何小于 9 的数）的数字都是不等式的解。使用数轴表示解非常方便

 <-------------------o
 <-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
   6     7     8     9     10    11

注意：圆圈 (o) 表示 9 不包括在内。稍后，当我们处理小于或等于以及大于或等于（≤ 和 ≥）时，我们将使用 "*" 来表示该值包含在解集中。

让我们尝试另一个更复杂的问题： $3x-2>2(x-3)$ 。首先，你可能想展开右侧： $3x-2>2x-6$ 。然后我们可以简单地重新排列，使所有未知数都在一边（通常是左边）： $3x-2x>-6+2$ 。因此，我们可以很容易地得到答案： $x>-4$ 。

一元不等式的图像。第一条数轴显示 x>3、x<-7 和 -4<x≤0。第二条数轴显示析取 x<-2 或 x>2。

以下是一个在寻找解时不等式方向会改变的例子：求解 $4-6x>22$ 。

首先从两边减去 4： $-6x>18$ 。
现在用 -6 除以，改变不等式方向： ${\frac {-6x}{-6}}<{\frac {18}{-6}}$ 。

所以不等式的解是 $x<-3$ 。

不等式与等式不同，通常有无穷多个解。

$x>A\!\$ 表示 x 大于 A

$x<A\!\$ 表示 x 小于 A

特殊情况 - 乘以 -1

用负数乘或除不等式两边的规则指出，你也需要改变不等式方向。看一下不等式 -1 < 1。让我们将其泛化为 -1 op 1，虽然我们知道运算符应该是 <。现在将不等式的两边乘以 -1。你得到 (-1)*(-1) op (1)*(-1)。简化后得到 1 op -1。为了使此语句为真，运算符现在需要是 >。

如果我们想要，我们可以将乘以负数更改为两个操作：[(-1)*(数字)][-1 < 1][(数字)*(-1)]。这可能看起来很明显，因为我们知道，要使数字变成其相反数，我们只需要乘以 -1。但是，乘以 -1 会导致我们必须改变不等式运算符方向的原因是什么？如果你在数轴上用数字 1 表示乘法，你会发现你所做的只是将 x（你正在乘的数字）个单位移动到零的右侧。

待办：需要图形

类似地，如果你在数轴上用数字 -1 表示乘法，你会发现你需要将 x（你正在乘的数字）个单位移动到零的左侧。

待办：需要图形

现在考虑等式和不等式之间的区别。如果你知道 x = y 为真，那么你也知道 x-y = 0。如果你知道 x > y，那么你知道两件事：x - y > 0（大 - 小为正）以及 y - x < 0（小 - 大为负）。如果我们将 x > y 乘以 1，我们仍然得到 x > y。如果我们通过从两边减去 y 将 y 移动到等式的左侧，我们得到 x - y > 0。我们知道这是真的。另一方面，当我们将 x > y 乘以 -1 且不改变不等式方向时，我们得到 -x > -y。当我们通过将 y 添加到两边将 y 移动到等式的左侧时，我们得到 y - x > 0。我们知道这是不正确的。在上一步中，我们需要说 -x < -y，因为尽管两个数字都是负数，但 -x 离左侧更远，因此比 -y 小。

完成代数问题可以变得自动化，但重要的是要记住规则为什么是正确的，这样你才能在你不小心忘记规则的一部分时发现自己。

特殊情况 - 分母中有变量的不等式

例如，考虑不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在这种情况下，不能将右侧乘以 (x-1)，因为 x 的值未知。由于 x 可能为正或负，你无法知道是否将不等号保留为 <，或将其反转为 >。解决此类不等式的方法涉及四个步骤

找出分母等于 0 的情况。在这种情况下，当 $x=1$ 时。
假设不等式符号是等号，并按此进行求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，所以 $x=2$ 。
在数轴上绘制点 $x=1$ 和 $x=2$ ，使用空心圆，因为原始方程包含一个 < sign（请注意，如果原始方程包含 <= 或 >=，则将是实心圆）。现在您有三个区域，它们由空心圆隔开。这些区域是： $x<1$ 、 $1<x<2$ 和 $x>2$ 。
独立测试每个区域。在这种情况下，通过在该区域中选择一个点（例如，x=1.5）并在原始不等式中进行尝试，来测试不等式对于 12（例如，x=3）。在这种情况下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 x>2。