代数/截距

代数

截距

要找到直线方程与 X 轴或 Y 轴的交点，不需要太多信息。在本节中，我们将探讨如何使用线性方程的标准形式来找到直线与轴的交点。在了解了斜率的工作原理之后，我们将看到如何将各种类型的线性方程转换为标准形式。

X 和 Y 轴截距

轴截距点是指函数、关系或方程的图形与 X 轴或 Y 轴相交的点。本节将探讨如何确定一组特定的函数：线性函数与轴的交点。

我们知道大多数直线的定义域是无限的，因为它们在 X 的每个值处都有定义。例外是定义为 $X=c$ 的直线，其中 c 是我们在编写函数时选择的数字。根据定义，这条直线只在 X 的一个值处有定义。由于定义域映射到值域的多个值，因此这实际上是一种关系，而不是函数。我们已经看到这种关系的图形是一条垂直线，它经过点 (c,Y)。在下图中，我们展示了当 c=0 时，我们的直线与 Y 轴相同。当 $c\neq 0$ （如 X = 3 的图示所示）时，直线永远不会与 Y 轴相交。

方程为 X=C 的直线与 X 轴相交一次，与 Y 轴相交 0 次或无限次。

我们也可以通过简单地写下 $Y=c$ 来限制函数的值域，其中 c 又是我们选择的任何数字。这条直线的图形是一条水平线，它经过点 (X,c)。当 Y=o 时，这条直线与 X 轴相同。当 $c\neq 0$ （如 Y = 3 的图示所示）时，直线永远不会与 X 轴相交。

方程为 Y=C 的直线与 Y 轴相交一次，与 X 轴相交 0 次或无限次。

在观察笛卡尔图形和线性方程时，我们遇到了一个数学公理：“两点确定一条直线”。在下一节中，我们将看到此公理如何影响直线的斜截式定义 $y=f(x)=mx+b$。当两条直线相交时，它们会在一个点处相交。如果一条直线不是水平的或垂直的，那么它必须与 X 轴和 Y 轴相交一次，但只有一次。

在这本书中，我们将接受 语句“在一个平面内，最多只能画出一条通过不在给定直线上的任何点并平行于给定直线的直线”。有一个名为“非欧几何”的数学分支，该分支在 160 多年前才建立。即使你不对数学感兴趣，阅读这篇关于 几何 的维基百科文章也是值得的，以了解如何用代数方法将几何形式化，然后超越代数方法改变文明。如果你继续从事需要高级数学的职业，比如工程或物理，你可能想根据自己的兴趣看看非欧几何对你职业的影响。

我们已经看到，对于方程 Y=mX + b，Y 截距将始终在 b 处，因为这是 X=0 的位置。

利用代数，我们可以从两边减去 b：Y - b = mX

并乘以 ${\frac {1}{m}}$

${\frac {Y}{m}}-{\frac {b}{m}}=X$

我们可以看到，X 截距将是 $-{\frac {b}{m}}$。

轴截距可以简单地指代轴上交点处的数字值。为了简洁起见，我们可以说直线的 X 截距为 1，Y 截距为 2。在绘制了几条直线之后，你将能够判断这条直线向下倾斜并穿过第二、第一和第四象限。再练习一下，你就能知道直线的方程是 Y=-2x + 2。我们将在后面看到，通过指定这两个点，实际上是隐含了直线的斜率。这条规则有一个例外。如果我们说一条直线与轴在 0 处相交，那么我们就知道这条直线将穿过 2 个象限，而不是 3 个象限，但我们不知道是哪两个象限，也不知道这条直线有多陡。在下一节中，我们将讨论斜率时，我们将看到为什么上面的方程指定了一个点和一个斜率。

当尝试绘制线性方程的图形时，找到轴截距通常是最简单的方法。要找到 x 轴截距，将 y 设置为 0 并解出 x。要找到 y 轴截距，将 x 设置为 0 并解出 y。对于大多数示例，截距是不同的点，一条直线可以通过这两个截距绘制。如果两个截距都是 (0,0)，则必须确定另一个点来绘制直线。如果方程的形式为 x = c 或 y = c，则水平线或垂直线非常容易绘制。

示例

• $Y=5\times x+2$

原始方程

• $Y=5\times 0+2$

将 0 代入 x

• $Y=2$

解

因此，Y = 5x + 2 的 y 轴截距为 2。

这适用于任何形式的方程。