代数/斜率

代数

斜率

斜率是衡量一条直线相对于其水平移动量，其垂直移动量的大小。

在这张图中，直线的斜率是${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.

平行线是指具有相同斜率且互不相交的线。例如，纬度线。

斜率

代数/斜率

斜率是坐标系中一条直线垂直距离变化量与水平距离变化量的比值。换句话说，它是“上升”与“下降”的比值，即直线的陡峭程度。斜率通常用符号$m$表示，如方程$y=mx+b$中，x 的系数 m 表示直线的斜率。

斜率通过测量垂直距离变化量除以水平距离变化量来计算，即

$\ m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {rise}{run}}$

希腊大写字母$\Delta$表示变化，在这种情况下，表示 y 坐标的变化量除以 x 坐标的变化量。

正斜率/负斜率

如果一条直线从左到右向上倾斜，则斜率必须为正。例如，斜率为 ¾ 的直线将“上升” 3 个单位，即向上移动 3 个单位；“下降” 4 个单位，即向右移动 4 个单位。斜率中的两个数字都是负数或正数，以保证斜率为正。

如果一条直线从左到右向下倾斜，则斜率必须为负。例如，斜率为 -3/4 的直线将“上升” -3 个单位，即向下移动 3 个单位；“下降” 4 个单位，即向右移动 4 个单位。斜率中只有一个数字可以为负，以保证直线具有负斜率。

其他类型的斜率

有两种特殊情况，无斜率和零斜率。水平线具有 0 的斜率，垂直线具有未定义的斜率。

水平线的形式为：$\ y=a$ ; 其中 a 是一个常数，即$a\in R$
垂直线的形式为：$\ x=a$ ; 其中 as 是一个常数，即$a\in R$

确定斜率

要确定斜率，您需要一些信息。这可能包括两个（或更多）坐标、平行斜率和坐标、垂直斜率和坐标，或 y 截距和斜率。

对于完全水平的直线，任何两个点之间的 y 坐标差为 0，因此斜率 m = 0，表示直线没有任何陡峭程度。如果直线延伸到右上角 (+,+) 和左下角 ( -, -) 的方向，则斜率为正。随着斜率的增大，直线变得越来越陡峭，直到直线几乎垂直，此时斜率非常大。当斜率 m = 1 时，直线为对角线，其角度介于 x 轴和 y 轴之间。如果直线延伸到左上角 (-,+) 和右下角 (+, -) 的方向，则斜率为负。随着斜率从 0 变为非常小的负数，相反方向的陡峭程度会增加。比较以下函数图中的斜率 ( m ) 值：y = 1（其中
m = 0）、y = (¹/₂) x + 1、y = x + 1、y = 2 x、y = -(¹/₂) x + 1、y = -x + 1 和 y = -2 x + 1。对于所有可以转换为线性函数的二元线性方程，相同的计算适用于这些直线的斜率。

寻找斜率

在大多数情况下，当给出信息时，寻找斜率很简单。只需取斜率方程 y=mx+b，用您知道的信息替换变量，然后求解。

两个坐标

要使用两个坐标点求斜率，首先必须找到斜率。使用标准公式${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$。将求得的斜率代入公式中的 m，并将 x 和 y 分别替换为其中一个坐标点中的 x 和 y。然后解出 b。将 b 代入公式，即可完成。

例如： (1,4) (4,8)

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

$m={\frac {4-1}{4-8}}$

$m={\frac {3}{-4}}$

直接代入。

$y={\frac {3}{-4}}x+b$

$4={\frac {3}{-4}}(1)+b$

$4={\frac {3}{-4}}+b$

$4-{\frac {3}{-4}}=b$

${\frac {-19}{4}}=b$

将 b 代入公式，即可完成。

$y={\frac {3}{-4}}x+{\frac {-19}{4}}$

平行线

如果需要求一条平行于另一条直线的直线（比如AB）的斜率（比如XY），那么可以使用直线XY的坐标来求得直线AB的斜率，因为平行于另一条直线的直线的斜率是相等的，即AB的斜率等于XY的斜率。

例如：

AB和XY是平行线，求AB的斜率。

假设直线XY的坐标为：

$X(2,4)=(x1,y1)$ 和 $Y(3,6)=(x2,y2)$

XY的斜率

$m=(y2-y1)/(x2-x1)$

$=(6-4)/(3-2)$

$=2/1$

⇒$m=2$

所以，

AB的斜率 = XY的斜率

⇒AB的斜率 = 2

因此，已解决。