代数/抛物线

代数

几何定义

抛物线是由所有与称为焦点的单个点和称为准线的直线距离相同的点组成的集合。到直线的距离被认为是垂直距离。

抛物线上本身的一个重要点称为顶点，它是焦点和准线之间距离最小的点。抛物线是对称的，它们的的对称轴穿过顶点。由于这种对称性，只需要顶点和另一个点就可以完全定义一个抛物线。

代数定义

为了推导出抛物线的方程，让我们假设（暂时）准线是水平的，因此它的方程是

$y=a$ 其中 a 是一个常数。

还假设焦点由 (x,y) = (b,c) 给出。那么根据定义和观察，顶点位于

$(h,k)=\left(b,{\frac {|a+c|}{2}}\right)$

现在让我们检查一下 x-y 平面中的某个点 (x*,y*) 与焦点和准线之间的距离。点与焦点之间的距离由距离公式给出

$D_{1}={\sqrt {(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}}}$

由于准线是水平的，点与直线之间的距离 simply $D_{2}=|{y^{*}-a}|$

根据抛物线的定义，这两个距离必须相等，因此

${\sqrt {(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}}}=|y^{*}-a|$

这是抛物线的方程，但让我们使它更容易处理。首先对两边求平方，并注意由于数字的平方始终为正，因此不需要绝对值符号

$(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}=(y^{*}-a)^{2}$

展开并简化

$(x^{*}-b)^{2}+y^{*2}-2y^{*}c+c^{2}=y^{*2}-2y^{*}a+a^{2}$

$(x^{*}-b)^{2}-2y^{*}c+c^{2}=-2y^{*}a+a^{2}$

$(x^{*}-b)^{2}+2y^{*}(a-c)+c^{2}-a^{2}=0$. 通过平方差公式，我们得到

$(x^{*}-b)^{2}+2y^{*}(a-c)+(c-a)(c+a)=0$. 因式分解

$(x^{*}-b)^{2}+(c-a)((c+a)-2y^{*})=0$

现在注意，表达式 $a+c$ 是顶点 y 坐标的两倍，而 b 是顶点的 x 坐标。因此

$(x^{*}-h)^{2}+(c-a)(2k-2y^{*})=0$

从第二项中提取公因子 2，

$(x^{*}-h)^{2}+2(c-a)(k-y^{*})=0$ 或者，设 D 为顶点到焦点的距离（即 ${\frac {c-a}{2}}$），我们得到抛物线方程最实用的形式

$(x^{*}-h)^{2}=4D(y^{*}-k)$ 其中 D 是顶点到焦点的距离，(h,k) 是顶点。

当用这种形式表示时，焦弦 的长度为 4D。此外，顶点本身的坐标为 (x,y)=(h,k)。利用这些信息，以及抛物线的对称性，可以方便地绘制抛物线图形。

但是，代数教科书中通常写出的公式是 $x^{2}=4py$ 如果抛物线是竖直的，以及 $y^{2}=4px$ 如果抛物线是水平的。并且，如果抛物线是竖直的，则焦点的坐标为 (0,p)，准线为 -p；如果抛物线是水平的，则焦点的坐标为 (p,0)，准线为 -p。

其他形式

抛物线的标准形式是

$y=Ax^{2}+Bx+C$

其中 A、B 和 C 是常数。从这种形式我们可以推断出抛物线的y 轴截距是C。可以证明（并将在后面的章节中证明），顶点的 x 坐标是 ${\frac {-B}{2A}}$.