代数/根与根式

代数

什么是根？

根是指数的逆运算。包含根的表达式称为根式。计算根的指数很容易，虽然可能很繁琐。例如，7*7*7*7 = 49*49 = 2401。因此，我们知道 2401 的四次根是 7，2401 的平方根是 49。2401 的三次根是多少？这篇文章提供了确定答案的公式，而这篇文章则详细解释了根。

找到特定根的值很困难。这是因为指数运算与加法、减法、乘法和除法是不同类型的函数。当我们绘制函数图形时，我们将看到使用指数运算的表达式使用曲线而不是直线。我们将在代数中看到，并非所有这些表达式都是函数，知道表达式何时是关系或函数可以让我们做出某些类型的假设，而我们可以使用这些假设来构建对原本无法理解的主题的思维模型。

现在，我们将通过将根转化回指数来处理根。

如果根定义为 X 的 n 次根，则用 ${\sqrt[{n}]{x}}=r$ 表示。我们通过将答案提高到 n 次方来消除根，即 $r^{n}=x.\!\,$ 。

使用根的问题

平方根

如果你对一个数开平方根，结果是一个数，当这个数平方时会得到第一个数。这可以用符号写成

${\sqrt {x}}=y{\mbox{ if }}y^{2}=x\,$ 。在实数系列中，$y^{2}\geq 0$ 无论 $y$ 的值为多少。因此，当 $x<0$ 时，我们无法定义 ${\sqrt {x}}$ 。

例子

• ${\sqrt {9}}=3$ 因为 $3^{2}=3\cdot 3=9.$ 。
• 如果 $x=25$ 则 ${\sqrt {x-16}}={\sqrt {25-16}}={\sqrt {9}}=3$ 。
• 如果 $x=7$，那么 ${\sqrt {x-16}}$ 是未定义的，因为 ${\sqrt {x-16}}={\sqrt {7-16}}={\sqrt {-9}}$，但没有数字 $y$ 使得 $y^{2}=-9$。 请注意，答案**不是** $-3$，因为 $-3\cdot -3=9$，而不是 $-9$。

你可能会注意到或发现负数的平方根有解。 这将在以后的复数章节中讨论，这将需要学习一些中间概念。

立方根

根不一定是平方根。 你也可以对一个数字取立方根 (${\sqrt[{3}]{}}$ )。 立方根是指将一个数自身相乘三次后得到原始数字的数。 例如，8 的立方根是 2，因为 $2\cdot 2\cdot 2=8$，或者

${\sqrt[{3}]{8}}=2.$

其他根

存在无限多个可能的根，它们都以 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 的形式出现，它对应于 $a^{\frac {1}{n}}$，当用指数表示时。 如果 ${\sqrt[{n}]{a}}={b}$，那么 $b^{n}=a\,$。

唯一的例外是 0。 ${\sqrt[{0}]{a}}$ 是未定义的，因为它对应于 $a^{\frac {1}{0}}$ ，导致被零除。 即使你试图发现 1 的 0 次根，你也不会取得进展，因为实际上任何数字的 0 次方都等于 1，只留下一个未定义的结果。

无理数

如果你对一个不是有理数平方的整数开平方根，那么答案将有无限多个小数位。 这样的数字被称为无理数，它被定义为不能写成有理数的数字：${\frac {a}{b}}$，其中 a 和 b 是整数。

但是，使用计算器你可以近似计算非平方数的平方根。

${\sqrt {3}}\approx 1.73205080757$

开平方后的结果用近似等于符号 $\approx$ 表示，因为结果是一个无理数，无法用十进制精确表示。 将 3 的平方根或任何其他非平方数写成 ${\sqrt {3}}$ 是表示精确值的最佳方式。

证明

以 ${\sqrt {3}}$ 为例。

假设 ${\sqrt {3}}$ 是有理数，且 ${\sqrt {3}}$ = ${\frac {a}{b}}$，其中 a 和 b 是整数且互质。

$3={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$

$a^{2}=3b^{2}$

这意味着 3 是 $a^{2}$ 的因数。由于 a 是整数，3 是素数，因此 3 是 a 的因数。设 a = 3k，其中 k 是整数。

$a^{2}=3b^{2}$

$(3k)^{2}=3b^{2}$

$9k^{2}=3b^{2}$

$b^{2}=3k^{2}$

类似地，3 是 b 的因数，这与 a 和 b 互质的第一条陈述相矛盾。因此 ${\sqrt {3}}$ 不能是有理数。因此 ${\sqrt {3}}$ 是无理数。

尝试开立方或其他根时，也会出现无理数。但是，它们不限于根，也可能出现在其他数学常数（例如 π、e、φ 等）中。