代数/指数

代数

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什么是指数？

指数是重复乘法的简写。记住，当你第一次被介绍到乘法时，它是作为重复加法的简写。例如，你学到：4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5。表达式 "4 × " 告诉我们我们需要加多少次。指数是相同类型的乘法简写。指数用上标 (即一个写在常规大小数字上方的较小数字) 写在常规大小数字之后。

例如：2³ = 2 × 2 × 2 = 8。较大的字体中的数字称为底数。上标中的数字称为指数。指数告诉我们底数自身乘以多少次。在这个例子中，2 称为底数，3 称为指数。

表达式 2³ 被读作 "2 的三次方"，或者简单地说 "2 的立方"。

以下是一些其他例子

6 × 6 = 6² (这读作 "六乘六是 六的平方" 或者更简单地说 "六乘六是 六的平方".)
7 × 7 × 7 × 7 = 7⁴ (这读作 "七乘七乘七乘七等于 七的四次方"。四次方没有其他表达方式。只有二阶和三阶通常被缩写，因为它们出现的频率更高。当清楚地知道指的是什么时，人们通常会省略 "raised" 和 "power"，可能会简单地说 "七的四次方".)

指数的基本规则

用相同底数的幂相乘

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

$a^{n}$ 表示你拥有 $a$ 作为因子的 $n$ 次。如果你再添加 $m$ 个 $a$ 因子，那么你拥有 $n+m$ 个 $a$ 因子。

用相同底数的幂相除

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} ^{\text{n factors of a}}}{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{\text{m factors of a}}}}=a^{n-m}$

与 $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ 相同，因为你正在添加 $a$ 因子，除法是在去掉 $a$ 因子。如果你在分母中有 m 个 a 因子，那么你可以从分子中划去 m 个因子。如果分子中有 n 个因子，现在你就在分子中有 n-m 个因子。

将一个幂提高到另一个幂

$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$

如果将指数看作底数的因子的数量，那么 $(a^{n})^{m}$ 表示你有 $m$ 个 $a^{n}$ 因子。因此，你拥有 m 组 $a^{n}$ ，并且每个 $a^{n}$ 都有 $n$ 组 $a$ 。因此，你拥有 $m$ 组 $n$ 组 $a$ 。因此，你拥有 $n\cdot m$ 组 a，或 $a^{n\cdot m}$

乘积的幂

$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

你可以按照任意顺序进行乘法运算。与将 n 个等于 ab 的因子相乘不同，你可以将所有 a 相乘，将所有 b 相乘，然后将 $a^{n}$ 乘以 $b^{n}$ 。

商的幂

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

将分数提升到幂意味着将分子和分母都提升到幂。

任何非零数提升到零次方等于一

$a\neq 0\implies a^{0}=1$

这意味着只要底数不为零，当指数为零时，表达式始终等于 1。

证明
$\ {\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}=1\ ,\ a\neq 0$

需要注意的是， $0^{0}$ 是未定义的。

负指数

指数上的负号表示需要取底数的倒数，然后将指数变为正数。

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}$

指数基本法则示例

用相同底数的幂相乘
将指数相加

$3^{4}\cdot 3^{2}=(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{6}$

用相同底数的幂相除
将指数相减

${\frac {5^{7}}{5^{4}}}={\frac {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}={\frac {5\cdot 5\cdot 5}{1}}=5^{3}$

将一个幂提高到另一个幂
将指数相乘

$(4^{3})^{2}=4^{3}\cdot 4^{3}=(4\cdot 4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4\cdot 4)=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^{6}$

任何非零数提升到零次方等于一

$2^{0}=1$

$109^{0}=1$

$-92^{0}=-1$

$(-92)^{0}=1$

指数问题

科学记数法

科学记数法使用指数。它常用于表示非常大或非常小的数字。写 $1,574,000,000,000,000$ 为 $1.574\cdot 10^{15}$ 更容易。要将普通记数法转换为科学记数法，请找到最左边的非零数字。计算它距离个位数字有多少位。这就是 10 的指数。如果该数字在个位数字的右边，则指数为负。如果它是个位数字，则指数为零。然后，将原始数字的小数点移动，使只有一个非零数字在左边。写下这个新数字和 $\cdot 10^{\text{exponent}}$ 。完成了！