代数/第 2 章/变量

2.1: 数学表达式

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在本节中，我们将回顾变量和表达式的定义和应用。如果这不是回顾，我们将尝试仔细地讲解这些概念，以便本节可以作为初次介绍。

代数

在本书的其余部分，我们将讨论未知值。

数值表达式和代数表达式

表达式是你可以放入计算器并得到一个数字的符号集合。准确地说，表达式是一个良构公式，但不要担心正式细节。表达式是我们可以计算的东西，我喜欢称它们为“穿得很漂亮的数字”。

例 2.1：确定以下哪些是表达式。 ${\begin{aligned}{\text{4}}+2\\\end{aligned}}$ 这是一个表达式，因为我们可以简单地将 $4+2$ 相加，得到 $6$ . ${\begin{aligned}{\text{(}}4+10)/8\\\end{aligned}}$ 这也是一个表达式，因为它可以计算为 $14/8=7/4$. ${\begin{aligned}{\text{(}}*3+2\\\end{aligned}}$ 这不是表达式。注意 $3$ 没有被任何东西乘以，而且没有右括号与左括号匹配。 ${\begin{aligned}{\sqrt {-4}}\end{aligned}}$ 虽然 ${\sqrt {-4}}$ 无法计算，但它仍然是一个表达式，因为它遵循运算顺序的规则。

例 2.1 中的所有表达式，以及我们在第 1 章中使用的表达式，都被称为数值表达式。这些表达式涉及将一组数字放在一起，利用加法、减法、乘法和除法。在这些情况下，我们知道要使用的数字值。但是，在处理数学或科学问题时，经常需要讨论你不知道其值的数字。

例如，假设你被要求计算有多少个 1 × 1 的正方形可以放入一个 9 个正方形长、10 个正方形宽的矩形中？在这种情况下，我们不知道的数字是“正方形的数量”。有些人会立即回答正确，说“矩形中可以放 90 个正方形”。但他们是怎么找到这个数字的？他们可能会说：“矩形中的正方形数量等于其长度的正方形数量乘以其宽度的正方形数量。矩形长 9 个正方形，宽 10 个正方形，所以它包含 90 个正方形。” 这些话太多了。我们可以用数学的方式写成

${\begin{aligned}{\text{Area}}&={\text{Length}}*{\text{Width}}\\{\text{Length}}&=9{\text{ and }}{\text{Width}}=10\\{\text{Area}}&=9*10\\{\text{Area}}&=90\end{aligned}}$

对于数学家来说，这仍然写得太多了。数学家通常选择用一个字母来命名每个未知数，主要是为了简洁（即简短），因为写一个字母比写一个单词更容易。变量是我们用来表示未知数的字母（或符号）。我们可以将上面的计算改写为

${\begin{aligned}{\text{A}}&=L*W\\{\text{L}}&=9{\mbox{ and }}W=10\\{\text{A}}&=9*10\\{\text{A}}&=90\end{aligned}}$

现在您已经熟悉了表达式的形式，让我们考虑一个实际的例子。

例 2.2：我最喜欢的咖啡馆一杯咖啡的价格是 2.00 美元。我每天喝 4 杯咖啡。我想计算一下这周我花在咖啡上的钱，以及今年我花在咖啡上的钱。 让我们从计算我一周在咖啡上花费多少开始。 我们把一周喝的咖啡总杯数称为 T。我们可以给花费的金额命名，称为 C（代表成本）。C 是一个表达式，但我们需要一个更实用的表达式，其中包含 T。每杯咖啡的价格是 2.00 美元，所以 0 杯咖啡的价格是 0 美元，因为 0×2 是 0。 1 杯咖啡的价格是 2 美元，因为 1×2 是 2。 2 杯咖啡的价格是 4 美元，因为 2×2 是 4。 T 杯咖啡的价格是 ... 2T 美元。 因此，2T 是一个表达式，表示 T 杯咖啡的成本。 这是计算我一周在咖啡上花费多少的第一步。要更进一步，我们需要知道 T 的值：我一周喝多少杯咖啡。如果我每天喝 4 杯，一周有 7 天，这意味着 T = 4 × 7 = 28。 通过用我们计算出的数字替换 T，我们可以看到 C 等于 2.00 × 28 = 56.00。 所以我在咖啡上每周花费 56.00 美元！也许我应该减少点！ 那我在一年里花了多少钱呢？我们可以用同样的方法计算出来。首先让我们考虑一下一年，如果我们保持相同的名称，我们仍然有 C 等于 2.00 × T。 但现在一年有 365 天，所以咖啡的总杯数（也就是数字 T）发生了变化。我们可以像以前一样计算它，每天喝 4 杯，导致 T = 365 × 4 = 1,460。 现在我们知道了 T 的值，我们可以看到 C 等于 2.00 × 1,460 = 2,920.00。 现在我可以看到，我在咖啡上每年花费 2,920.00 美元。是的，我需要减少点！！

请注意，这两个问题的解决方案基本上是一样的，唯一改变的是 C 和 T 的值。这就是为什么它们被称为变量，因为确切的数字会有所不同。我们在计算中使用的一些数字不会改变。例如，一周的天数永远是 7。如果我们想的话，我们仍然可以使用一个字母来代表一周的天数，但是由于这个数字不会改变，我们只需要把它写成 7。代表特定不变数字的字母或符号称为常数。

在实际情况中，您认为什么是常数有时取决于您如何看待问题。一位细心的读者可能会指出，一年并不总是 365 天：闰年有 366 天。由于我在计算 2010 年我花了多少钱，所以这一年的天数是常数，等于 365。如果我想制作一张表格，记录我过去 10 年在咖啡上花费了多少钱，那么最好使用一个变量来代表一年中的天数。

另一个例子，您可能从物理学中了解到，是物体由于重力而产生的加速度。对于大多数问题，这种加速度被视为常数 g = 9.8 m/s²。但是，对于涉及不在地球上的物体的問題，这可能是一个不好的近似值。我们在关于其他行星上的物体的方程式中使用的 g 值可能不被视为常数。这里的问题不会要求我们担心何时可以将重力加速度视为常数，因为这更适合物理课程。对我们来说，常数将是那些在问题中固定且不会改变的数字，就像上面例子中的咖啡价格，或者在某些情况下，一些众所周知的固定数字可能会出现（例如一副牌中的牌数、一周中的天数等等）。

变量通常用字母来表示，例如 x、t 或 C。由于文化原因，x 是一个非常常见的变量名选择。但是，当您自己命名变量或常数时，最好选择与问题相关的名称，例如 C 代表成本、T 代表总数等等。这使得您最终看到的方程式更容易理解。常数通常写成数字本身，例如 2、-5 和 0.75，或者在某些情况下可能用字母表示，例如 g（如上所述）和 π。

正如您所想象的，出现的方程式往往比前面例子中的方程式更复杂。我们需要一些词汇来描述我们遇到的方程式中的不同部分。例如，如果我让 G 代表我每天开车去咖啡馆所花费的汽油量，那么我花费的金额 C 的表达式可能看起来像

2.00 × T + G × D

现在 C 是两个称为项的东西的总和。在这种情况下，表达式中包含两个项，即 2.00 × T 和 G × D。项是总和中我们要加在一起的一个部分。在表达式 2.00 × T + G × D − 7 中，有三个项。其中两个项是 2.00 × T 和 G × D。处理 − 7 有两种可能性。第一种可能性是将减法视为加法，并将 7 视为第三项。第二种可能性是将减去 7 看作加上 -7。在这种情况下，我们可能会说这些项是 2.00 × T、G × D 和 -7。说实话，我们如何看待这些东西并不重要，但我们应该尽量保持一致。由于我们在上面对项的定义中使用了“总和”这个词，因此我们将尽量始终如一地使用第二种可能性来描述减去而不是加上的项。

系数

有很多方法可以表明两个数字应该相乘。您可能最熟悉使用符号 ×，例如在方程式 2 × 2 = 4 中。但是由于数学在许多地方发展，所以有时会使用其他符号，这在代数中尤其重要。为什么要使用不止一种表示法？信不信由你，为了方便！由于文化原因，最常见的变量字母是 x，但是现在当我们试图写出类似于 x × 2 的表达式时，事情就会变得混乱。这是一个不幸的事实，我们的变量和我们的乘法符号看起来非常相似。再加上糟糕的笔迹，你就自找麻烦了！有两种常见的解决方法。第一种是为乘法引入另一个符号，即点，写在线中间。例如，不是写 2 × 2 = 4，可以写 2 · 2 = 4。另一种更常见的策略是完全不写任何东西！假设我想将 x 乘以 2。由于这可能会导致混淆，所以我不想写 2 × x。我可以写，用我们新的点符号 2 · x，或者我可以简明扼要，决定如果您看到我写 2x，您就会知道它的含义。没错，我完全跳过了写任何乘法符号！这被称为隐式乘法，因为我从未真正说过我在乘法，我只是暗示了它。这是在代数中表达乘法的最常见方法。

一开始这可能看起来是一种疯狂的做法，但它与我们对单位的直觉非常吻合。我们从小就被教导，如果我有一个苹果，有人再给我一个苹果，那么我就有两个苹果。同样，写 1x + 1x = 2x 似乎非常自然。如果我有一个 x，有人再给我一个 x，那么我将只有 2 个 x。因为变量与我们在这种简单示例中的单位有如此大的相似性，所以在使用隐式乘法时，从不将变量放在数字前面已经成为一种文化。虽然从技术上来说，写 x2 代表 2 和 x 的乘积可能是正确的，但人们可能无法理解它的含义。因此，在使用隐式乘法时，始终将显式数字放在变量之前。

隐式乘法也经常用于两个不同的变量之间，甚至用于两个完整的表达式之间（只要您使用括号）。因此，我们可能会遇到 xy 表示 x 和 y 的乘积的表达式，或者 x(a + b) 表示 x 和 a + b 的乘积的表达式。由于隐式乘法如此常见，因此我们更有理由使用单个字母来表示变量。虽然使用 YC 作为我的咖啡年费的变量可能很好，但如果我不非常小心地解释我的意思，一些读者可能会认为这表示一个变量 Y 乘以另一个变量 C。另一方面，在变量很多的情况下，有时值得冒险混淆，选择有意义的变量名称。

最后，您可以在两个数字之间使用隐式乘法。试试吧，如果我们要用隐式乘法写 2 × 2 = 4，我们将最终写成 22 = 4，但二十二不是四！相反，我们将一个或两个常数放在括号中：2(2) = 4 或 (2)(2) = 4。两种形式都是正确的。如有疑问，请遵循您的老师所说的。

计算表达式

我们将变量视为数字——尽管可能在开始时我们不知道这些数字，但它们终究是数字。当我们知道与变量相关的数字时，我们可以确定之前写下的某个表达式等于什么。假设我们被要求在x = 7时找到x − 5的值。为此，我们将7 **代入** x。这意味着我们将表达式改写，除了所有写x的地方我们都写7。因此我们得到7 − 5，现在我们可以使用简单的算术来算出表达式等于2。如果你回顾分析我喝咖啡习惯的讨论，你会发现我们已经代入了几次。让我们看看更多例子。

示例 2.3：当x = 2且y = 3时，求xy − 9的值。 我们将分两步进行。首先，我们将2 代入x，得到 2 · y − 9. 现在，我们将3 代入y，得到 2 · 3 − 9 = 6 − 9 = -3。

在最后一行，由于我们已经得到了一个算术问题，我们只需使用我们已经熟悉的算术规则。需要注意的是，当涉及隐式乘法时。考虑以下示例。我们需要使用优先级规则来按正确顺序进行简单的算术运算，才能算出表达式等于2。

示例 2.4：当x = 4时，求2x + 2的值。 解： 将 4 代入 x，我们得到 2 · 4 + 2 = 8 + 2 = 10.

请注意，当我改写表达式时，有一个非常细微的变化。具体来说，我在存在隐式乘法的地方**插入**了乘法符号。想象一下，如果我没有这样做：最后一行将以 24 + 2 开头，这并不是我们的意思！我们想要将 x 乘以 2，因为 x = 4，这意味着我们想要将 4 乘以 2。数字 24 不应该包含在我们的计算中。

在评估表达式时，**非常重要**的是要遵循正确的运算顺序（不要忘记“**P**lease **e**xcuse **m**y **d**ear **a**unt **S**ally”）。例如

示例 2.5：已知 x 为 2， z 为 1/2， k 为 1，化简表达式3x2(2z+k)。 解： 首先，将 x 代入，我们得到 3 · 22 · (2z+k) 现在，将 z 代入 3 · 22 · (2 · 1/2 + k) 最后，我们代入 k，得到 3 · 22 · (2 · 1/2 + 1). 首先，我们需要确定括号内的值，也就是说，我们需要计算2 · 1/2 + 1。正确的顺序是先乘后加。也就是2 · 1/2 + 1 = 1 + 1 = 2. 现在我们已经确定了括号内的值，问题变成了计算 3 · 22 · (2). 我们先进行指数运算，得到 3 · 4 · (2). 现在我们只需相乘，答案是 24。