代数/第 5 章/坐标 (笛卡尔) 平面
什么是笛卡尔平面？
以“解析几何之父”、17 世纪法国数学家 勒内·笛卡尔（笛卡尔） 命名，统一的规则网格（笛卡尔）坐标是用于绘图的一种系统。许多代数表达式适合进行图形分析。点的 笛卡尔 图的位置通过索引沿编号网格线上的数值（坐标）来找到。简单的单一R数轴构成一个一维的、单一纵坐标的系统，所有位置仅存在于该线上。本研究从二维绘图开始（参见下面的两个图）。图和点的位置和标记与它们在页面和平面上的两个数轴（R2 轴）上的“投影”偏移量有关。
我们使用两个垂直的编号轴来选择笛卡尔平面上点的值或纵坐标。按照惯例，两个轴交叉的点在每个轴上都标记为 0，这使得它们的交点的纵坐标成为一个特殊的点，称为原点，并标记为 (0,0)。通常，水平轴标记为x，垂直轴标记为y。有序对 (x,y) 指定平面上的点 P 的位置。如果我们不想将有序对称为 x 和 y，我们可以将有序对中的第一个变量称为横坐标，第二个称为纵坐标。轴交叉的地方是横坐标为 0 且纵坐标为 0 的地方。我们可以概括关于有序对中横坐标和纵坐标的符号，因为当两个轴交叉时，它们形成了四个象限。逆时针移动，从右上角的象限开始，象限标记为 I、II、III 和 IV。在象限 I 中，所有 x 值和 y 值都为正，在 II 中，x 为负，y 为正，在 III 中，所有值都为负，只有 x 在 IV 中为正。有序对 (0,0) 表示轴相交处的原点。
我们使用轴来定义两个数字集之间的关系，我们用变量替换这两个数字集。关系意味着改变一个变量的值会决定另一个变量的值。我们将正在改变的变量称为自变量，我们将值发生变化的变量称为因变量。通常我们让x表示自变量，y表示因变量，这样我们就可以用数学符号来模拟 x 和 y 之间的关系。自变量表示的数字集称为定义域。因变量表示的数字集称为值域。一种特殊的关系称为函数。函数是一种关系，其中定义域中的任何值都映射到值域中的一个且只有一个值。
当我们在笛卡尔平面上绘制关系的点时，我们就可以确定这种关系是否是一个函数——平面上的所有垂直线都与我们的图形相交一次且只有一次。函数对于模拟因果关系非常有用——其中原因是自变量，结果是因变量。
| 象限 | x 轴 (横坐标) | y 轴 (纵坐标) |
|---|---|---|
| I | 正数 | 正数 |
| II | 负数 | 正数 |
| III | 负数 | 负数 |
| IV | 正数 | 负数 |
请注意，笛卡尔平面中唯一独特之处在于它包含一个我们称为“原点”的点，并将其标记为 (0,0) 如果我们在通过原点的二维图形的垂直方向上绘制另一个轴，我们就可以绘制三维物体 (R3)。想象一根穿过二维图形原点的细长的可伸缩的编号线。通过使用第三个坐标，这条线 (X、Y、Z)，我们可以找到位于页面上或空间中的点。这个想法可以扩展到更高维度（包括时间），并且是理论物理学的一个领域——[[w:String_theory| 弦理论
连续点集可以用图上的线或曲线表示，显示连续的成对量如何相互关联。这些数字或量被称为变量。函数、关系或方程可以定义当输入量变化时，相关的输出量如何变化。然后，图可以说明这些变量是如何相互关联的。自变量是指被发送到函数中的变量，因为一个人可以随意控制或改变它。因变量是函数输出的变量。函数的定义决定了因变量的值取决于自变量的值。
任何具有两个变量的方程都可以有效地定义两个变量之间的关系，并且可以在二维笛卡尔坐标图上绘制该关系。在任何特定的方程、关系或函数定义中，保持不变的数字，即不是变量的数字，通常被称为常数。即使一个人对高级代数不甚了解，也可以通过选择自变量定义域中的各种数字，并计算相应的因变量（在值域中）的数字来开始了解函数或二元方程或关系在图中的样子，从而确定尽可能多的有序对，并在图上绘制这些点。绘制了足够的点后，人们可以通过直线或曲线连接计算出的点，来估计连续关系的样子，具体情况而定。
确定您觉得舒服的尽可能多的点，以便在图上绘制该方程的图形。然后在方格纸上绘制 x 轴和 y 轴。然后将 (x,y) 有序对作为点绘制在图上。最后，当您认为已经绘制了足够的点以了解函数的形状时，连接这些点，看看函数图是什么样子。如果您不确定图的某一部分，您可以随时计算更多点来填充该部分。
求解单个变量的单个实例的公式、方程或不等式是该变量的隐式关系，并且依赖于该变量，以剩余的自变量表示。显式关系是指指出哪个变量是自变量。点解是一组值（每个自变量一个值）以及对应的计算出的因变量值。共识记号用逗号分隔这些值，其中因变量的值最后放在一个有序组中（如果不存在歧义，则括号是可选的）。自变量的有效值解集构成关系的定义域，而因变量的有效值解集构成关系的值域。函数是一种关系，它仅限于生成唯一因变量值的自变量值。
完整的图描述了关系的所有可能的点解。“一个”自变量加上“一个”因变量呈现一个“二维”地图（图），其中有两个垂直（正交）数轴（轴）在原点（O）处交叉（截取）。按照共识，第一个坐标与沿水平轴的偏移相关，第二个坐标与沿垂直轴的偏移相关（一个有序对）。
此函数绘图（部分）使用二维矩形笛卡尔坐标系，第一个坐标是 横坐标，通常表示x 轴，第二个坐标是 纵坐标，表示y 轴。轴值是数字，是R的元素，并且对R是闭合的，并且一起构成R2。原点是数字对0,0。正数向右和向上递增，负数向左和向下递减。x,y 表示法是有序对点的常见形式/公式，并在以下图中绘制。
要记住坐标的顺序，想想过山车——“如果你做正确，你可能会向上扔”；或者如果图是一条有高楼的街道——你必须沿着街道走（右/左）才能进入并向上走楼梯；或者你爬行（右/左）然后才走路（站起来）。
坐标轴和平面场向外延伸，尽可能接近无穷大（正负），以满足任何分析的需要。在实际应用中，图形会被缩短为待考察区域。在我们的例子中，通用点x,y 被赋值为数值（x = 3，y = 4），通过将其绘制在点3,4处来实现。一条实线和一条虚线表明，该位置可以通过从（0,0）开始，向正x方向（向右）移动3单位，然后向正y方向（向上）移动4单位来确定。