代数几何/引言

代数几何 : 引言

什么是代数几何？

代数几何是数学的一个分支，它将抽象代数与几何结合起来 - 更确切地说；它是用几何工具研究代数对象。它可以被视为线性代数（“多元线性方程组”）和代数（“一元多项式方程的研究”（虽然不完全是））的结合。也许另一个描述是，代数几何是多项式函数及其定义这些多项式函数的空间（称为代数簇）的研究。

因此，代数几何的起点是对多项式方程组的解的研究

$f_{i}(X_{1},X_{2},...,X_{n})=0,i=1,2,...,m,f_{i}\in k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$

多项式方程的定理取决于域$k$是否代数封闭，以及$k$是否具有特征 0。

例如，设$k=\mathbb {Q}$且$f(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{n}+X_{2}^{n}-X_{3}^{n}$。这就是费马大定理 - 并且如果$n\geq 3$，那么该问题只有平凡解。

我们可以对这个多项式方程组提出哪些问题？在许多情况下，不可能明确地列出所有解（记住，如果单一多项式方程的次数大于 4，则通常无法完全求解 - 见阿贝尔-鲁菲尼定理） - 所以大多数研究都致力于这些方程解集的几何结构。

符号

在整本书中，环通常被视为交换环，具有单位元，并且$k$将表示代数封闭域。

预备知识

为了在这个学科中取得进展，我们必须回顾交换代数（即交换环的研究）中的一些结果。

历史

代数几何领域最初是由伊斯兰数学家开发的，例如波斯数学家欧玛尔·海亚姆。