应用数学/基础

线性代数基础

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{12}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{bmatrix}}.$

矩阵是由排列成行和列的数字矩形数组组成。水平线称为行，垂直线称为列。矩阵中的单个项目称为元素。矩阵中第 i 行和第 j 列的元素称为矩阵的 i，j，（i，j）或（i，j）元素。为了指定矩阵的大小，具有 m 行和 n 列的矩阵称为 m 行 n 列矩阵，m 和 n 称为其维数。

基本运算

运算	定义	示例
加法	两个m行n列矩阵A和B的和A+B是按元素计算的 (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j，其中 1 ≤ i ≤ m 且 1 ≤ j ≤ n。	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
标量乘法	矩阵A和数字c（在抽象代数中也称为标量）的标量乘法cA是通过将A的每个条目乘以c来给出的 (cA)i,j = c · Ai,j。	$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$
转置	m行n列矩阵A的转置是n行m列矩阵AT（也记为Atr或tA），通过将行变成列，反之亦然 (AT)i,j = Aj,i。	${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

练习题

(1) ${\begin{bmatrix}5&7&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4&0&5\\8&3&0\end{bmatrix}}=$
(2) $4{\begin{bmatrix}-1&0&-5\\7&9&-6\end{bmatrix}}=$
(3) ${\begin{bmatrix}-2&5&7\\0&0&9\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }=$

矩阵乘法

两个矩阵的乘法仅当左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数时才定义。如果 A 是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×p 矩阵，那么它们的矩阵积 AB 是一个 m×p 矩阵，其条目由 A 的对应行与 B 的对应列的点积给出。^[2]

$[\mathbf {AB} ]_{i,j}=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}$^[3]

两个矩阵 **A** 和 **B** 的矩阵积 **AB** 的示意图。

示例

${\begin{bmatrix}-2&0\\3&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}-2+0&-4+0\\3+6&6+(-2)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}-2&-4\\9&4\end{bmatrix}}$

练习题

(1) ${\begin{bmatrix}1&0\\2&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}}=$

(2) ${\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}}=$

点积

**行向量** 是一个 1×m 矩阵，而 **列向量** 是一个 m×1 矩阵。

假设 A 是行向量，B 是列向量，那么点积定义如下；

$A\cdot B=|A||B|cos\theta$

或者

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

假设 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$ 点积为

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

示例

假设 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}7\\5\\4\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\5\\4\end{pmatrix}}$

$=2\cdot 7+1\cdot 5+3\cdot 4$
$=14+5+12$

$=31$

练习题

(1) $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =$

(2) $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6\\9\\2\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =$

叉积

叉积定义如下

$A\times B=|A||B|sin\theta$

或者，使用行列式，

$\mathbf {A\times B} ={\begin{vmatrix}e_{x}&e_{y}&e_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

其中 $e$ 是单位向量。