算术/自然数入门
计数的能力在整个时代都至关重要。随着时间的推移，人们发展出了一些计数系统，第一个是自然数。作为一个集合，自然数可以写成这样：。如果我们还将数字零包含在这个集合中，它就变成了整数：.
整数可以用多种方式形成。最简单的方法是使用所谓的归纳定义。这是指我们定义一系列数字中的第一个，然后使我们能够推导出任何给定数字的后续数字，从而使我们能够根据任何给定数字总是能够找到下一个数字。第一个整数是。推导出下一个数字的方法是简单地将 1 加到前一个数字。这很容易演示：，所以零的后续数字是一；，所以一的后续数字是二；，所以二的后续数字是三；这样可以一直“ad infinitum”，这只是一个拉丁语短语，意思是“到无穷大”。
自然数主要用于三个目的：计数、排序和定义其他概念。计数是衡量一组几个离散的、可识别个体的数量的自然方法。要使用自然数对特定的一组对象进行计数，你只需从 1 开始，为这组对象中的一个元素分配一个且只有一个自然数。对于下一个尚未分配数字的对象，你可以随意选择它，然后为其分配自然数组中的下一个数字，然后继续前进到下一个对象，直到所有项目都被分配了数字。（如果我们永远无法达到结尾，我们就无法用任何自然数来描述计数。有一些方法可以处理“无限”集，但现在我们只关注“有限”集。）细心的人会注意到，这是一个归纳定义：我们定义第一个项，并提出一种推导出任何给定项的后续项的方法。计数有时被称为“枚举”。
排序（也称为“排名”）是指将自然数分配给一组成员，但不是随意分配，而是要考虑某个属性。要做到这一点，你选择具有该属性最极端值的对象（即最小的、最聪明的、最胖的等等），并为其分配自然数 1，然后将其放到一边，然后继续选择具有该属性最大（剩余）值的剩余对象，并为其分配下一个自然数，在本例中是 2。然后你也将其放到一边，继续选择具有该属性最大（剩余）值的剩余对象，并再次为其分配下一个自然数，重复此步骤，直到所有对象都被排名。（如果我们只对前几个排名感兴趣，我们可以在对大量对象进行排名之前停止。）再次，我们使用归纳定义。在大多数自然语言中，人们用不同的词来表示数量的数字（“三”）和作为排名的数字（“第三”）。我们将前者称为“基数”，后者称为“序数”，尽管它们都是自然数，只是在略微不同的方式上应用。
应该注意的是，在以上所有情况下，零都没有起作用。零是一个特殊情况，在计数的情况下，你还没有为任何对象分配数字。例如，如果你试图计算你拥有的苹果数量，而你没有苹果，那么你计算的数量就是零。对于排序，数字零永远不会使用，因为如果你没有东西要排序，你开始之前就已经完成了，任何对象都不会被排在第 0 位。
自然数也在许多其他数学概念的定义中起着不可或缺的作用，包括我们用来定义计数和排序的数学归纳法的概念本身。因为本页上的程序使用了数学归纳法，所以在更正式的情况下，我们必须使用另一种方法来定义自然数，以避免“循环定义”（即一个概念的定义依赖于被定义的概念）。可以基于“后续者”的概念来进行自然数的正式定义。
人们注意到，自然数是无限的，任何一个自然数都有无限个后续数字，因为任何后续数字都有一个后续数字，而那个后续数字也有一个后续数字，一直延续到无穷大。然而，尽管数量是无限的，我们仍然可以计算这些数字。这使得该集合是可数无限的。数学家创造了一整套叫做基数的特殊数字来描述不同大小的无限；在本例中，自然数的集合的大小是阿列夫零。在进一步的数学研究中记住这一点很重要。