实分析/计数数字

←目录

实分析 有序集

有序域→

有序集

有序集是一组具有明确的“更大”含义的对象。与其给出排序的抽象定义，不如从一些有序集的例子开始，探索哪些基本假设是必要的。这种方法虽然不如严格，但应该更易于理解。我们第一个也是最重要的集合是 _自然数_。

自然数

分析的基本集合是 _自然数_ $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$（有些作者认为 $\{0,1,2,\ldots \}$——当我们想引用这个集合时，我们使用 $\mathbb {N} _{0}$）。自然数是你 _计数_ 所需的全部。这个集合由它的性质定义。自然数集合 $\mathbb {N}$ 的第一个性质是它具有等价关系 $=\$，这意味着以下公理得到满足

1. 自反性

   对于所有 $n\in \mathbb {N} ,\ n=n;$

2. 对称性

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m$ 当且仅当 $m=n$；

3. 传递性

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$ 如果 $n=m$ 并且 $m=l$，那么 $n=l$；

这些简洁的数学陈述可以用不那么严格的方式写出来。第一个陈述只是说明每个自然数都等于它本身。第二个陈述说明，无论你以什么顺序说，等式都是成立的。最后一个陈述说明，当两个自然数相等，其中一个等于其他东西时，它们三个必须相等。这些是我们松散地谈论等式时所做出的简单假设。这个简短的列表为我们提供了一种方法来检查提议的等式是否满足我们对两个事物相等意味着什么的观念。

1. 三等分律

   对于所有 $m,n\in \mathbb {N}$，以下三种情况中只有一种成立

   $m<n$

   $m=n$

   $m>n$

   符号 $m\leq n$ 表示 $m<n$ 或 $m=n$，符号 $m\geq n$ 表示 $m>n$ 或 $m=n$.

2. < 和 > 的传递性.

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$，如果 $n<m$ 且 $m\leq l$，则 $n<l$.

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$，如果 $n>m$ 且 $m\geq l$，则 $n>l$.

三等分性意味着任何两个自然数要么相等，要么可以唯一地选出更大的数。传递性表明，如果存在第三个数比我们的前两个数中最大的数还要大，那么它也比最小的数大。有了这个，我们现在有了对自然数之间顺序的简洁定义。最后，自然数集 $\mathbb {N}$ 具有一个相关的运算，称为加法。集合 $\mathbb {N}$ 和加法运算 $+$ 满足以下公理

1. 封闭性

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,n+m\in \mathbb {N}$.

2. 交换律

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n+m=m+n$.

3. 结合律

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n+(m+l)=(n+m)+l$.

   也就是说，我们可以无歧义地写出 $n+m+l$

4. 与排序的兼容性

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n<n+m$

也就是说，如果我们添加两个自然数，结果是自然数。我们添加数字的顺序并不重要，如果我添加两个自然数，那么它们的和大于我开始的两个自然数中的任何一个。这是我们对正数加法的概念，简化为基本假设。为了使我们所知的自然数有一个明确的存在，只需要再添加一个假设，即自然数集不是空的。我们可以将 $\mathbb {N}$ 中最小的元素命名为 1。

存在一个数字 $1\in \mathbb {N}$，使得对于所有 $n\in \mathbb {N}$，$1\leq n$。

这个陈述简单地说，存在一个数字，它小于或等于任何其他自然数。有了这些假设，我们可以继续推导出 $\mathbb {N}$ 的所有性质。

乘法

在自然数上，我们可以定义第二个运算符，乘法 $\times$。 $\mathbb {N}$ 上的乘法概念仅仅是重复加法的简写。以下是乘法的公理。

1. 封闭性

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m\in \mathbb {N}$.

2. 恒等式

   对于所有 $n\in \mathbb {N} ,\ n\times 1=n$.

3. 交换律

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m=m\times n$.

4. 结合律

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,

   也就是说，我们可以无歧义地写出 $n\times m\times l$.

5. 分配律

   对于所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.

6. 与排序的兼容性

   对于所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ m\leq n\times m$.

这意味着自然数相乘得到自然数。任何数乘以 1 等于它本身。乘法的顺序和分组并不重要。最后两个描述了乘法如何与加法和在 $\mathbb {N}$ 上的排序相关。总是写 $n\times m$ 来表示乘法很繁琐，因此我们将其缩写为 $nm\$。此外，我们使用上标来缩写某个数的重复乘积，上标表示该数重复的次数。例如，

$n\times n\equiv n^{2}.$

皮亚诺公理

自然数集的另一种推导方法可以用一些称为皮亚诺或戴德金-皮亚诺公理的公理来描述。对皮亚诺公理中加法和乘法的定义进行略微修改，可以构建一个不同的集合，其中元素“0”（很快就会描述）实际上可以是某个与 0 不同的自然数。因此，这些公理可以作为自然数集的定义。

1. $\exists 0\in \mathbb {N} _{0}$

   自然数集中存在一个称为“0”的元素。

2. $\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ \exists S_{x}\in \mathbb {N} _{0}$

   每个自然数都有一个后继，该后继也是一个自然数。

3. $\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ S_{x}\not =0$

   没有自然数的后继是 0。

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} _{0}\ S_{x}=S_{y}\implies x=y$

   后继函数是一对一的。

5. $\left(0\in A\land \left(x\in A\implies S_{x}\in A\right)\right)\implies \mathbb {N} _{0}\subset A$

   数学归纳法：如果 0 在集合中，并且 n 在集合中意味着其后继也在集合中，那么所有自然数都在集合中。

自然数可以定义为自然数集中的一个元素。这些公理可以用来证明关于基本运算和谓词的非常重要的基本定理，即加法、乘法和顺序。加法和乘法是非常重要的二元运算符，而顺序是一个非常重要的二元谓词。它们可以定义如下

• 排序

  $S_{y}>y\$

  数字 y 的后继大于数字 y。

  $x>y\implies S_{x}>y$

  如果数字 x 大于数字 y，那么 x 的后继大于 y。

• 加法

  $x+0=x\$

  任何数字与零的和等于该数字。

  $x+S_{y}=S_{x+y}\$

  数字 x 与数字 y 的后继的和等于 x 与 y 的和的后继。

• 乘法

  $x\ 0=0$

  任何数与零的乘积为零。

  $x\ S_{y}=x+xy$

  一个数 x 与另一个数 y 的后继数的乘积等于 x 与 x 与 y 的乘积的和。

要理解加法、乘法和排序的含义，并不需要知道这些定义。但是，这些定义展示了如何从皮亚诺公理中构建加法、乘法和排序。

加法和乘法的替代构造

基本元素不一定必须是加法的单位元。事实上，如果加法和乘法的定义不同，那么基本元素通常写为“1”。

1. $\exists 1\in \mathbb {N}$

   1 是集合中的一个元素。

2. $\forall x\in \mathbb {N} \implies (x+1)\in \mathbb {N} \$

   对于任何自然数 x，x 与 1 的和也是一个自然数。

3. $\forall x\in \mathbb {N} \ x+1\neq x$

   任何自然数 x 与 1 的和都不等于 x。

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} \ x+1=y+1\implies x=y$

   加一是一个一一函数。

5. $(1\in A\land (x\in A\implies (x+1)\in A))\implies \mathbb {N} \subset A$

   数学归纳法：如果 1 是集合 A 的一个元素，其中对于 A 的任何元素 x，x 与 1 的和也在集合中，那么所有自然数都在集合 A 中。

策梅洛-弗兰克尔公理

自然数也可以从集合中构造。这不是一个必要的步骤，可以跳过，但它表明集合论为解释自然数提供了足够的依据。策梅洛-弗兰克尔公理为满足皮亚诺公理的集合提供了充分的条件。

1. 令 0 与空集 $\emptyset$ 相关联。
2. 令集合 $S_{n}=n\cup \{n\}$

   自然数 n 的后继数是与 n 相关联的集合与包含 n 的集合的并集。因此，每个自然数都是一个包含其所有前驱数的集合。

   例如，令 0 := $\emptyset$，那么 1 := $S_{0}=0\cup \{0\}=\emptyset \cup \{0\}$ = {0}

   $2:=S_{1}=1\cup \{1\}$ = {0}∪{1} = {0} ∪ {{0}} = {0, {0}} = 因此 {0,1}，3 是 {0,1,2}，依此类推。

3. $\exists \mathbb {N} _{0}:\emptyset \in \mathbb {N} _{0}\land \left(\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ x\cup \{x\}\in \mathbb {N} _{0}\right)$

   存在一个称为$\mathbb {N} _{0}$的集合，它包含$\emptyset$（空集），并且对于任何元素 x，集合$x\cup \{x\}$ 也在该集合中。这个公理被称为 **无穷公理**，构造的集合被识别为自然数。

这种自然数的构造显然满足前三个皮亚诺公理。事实上，S_x=S_y→x=y 可以很容易地从$x\cup \{x\}=y\cup \{y\}\implies x=y$ 中看出。第五个皮亚诺公理成立，因为如果$\emptyset \in A\land \left(\forall x\in A\ x\cup \{x\}\in A\right)$，那么这个集合将是自然数，因此自然数将是 A 的一个平凡子集。

整数

如果我们在$\mathbb {N}$ 中添加$0,$ 我们可以得到加法单位的概念，由

$\exists 0:\forall n\in \mathbb {N} ,\ n+0=n,$

表明存在一个数字$0$，它加到一个自然数上后，仍然是那个自然数。这里我们有一个选择：$0$ 在我们的排序中应该放在哪里？通常的选择是$0<1$，这也是我们将在这里使用的选择，尽管值得指出这个选择的好奇之处。定义了零后，$\mathbb {N}$ 逆元的可能性出现了。我们将逆元的集合记为$\mathbb {-N}$，该集合满足以下公理

$\forall n\in \mathbb {N} ,\ \exists (-n)\in \mathbb {-N} :n+(-n)=0.$

将所有三个结合起来，我们得到整数

$\mathbb {Z} =\{\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \{\mathbb {-N} \}=\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$.

整数允许我们跟踪债务以及计数事物，换句话说，执行会计。如果你假设加法的公理在良序假设采用以下形式的情况下成立

$(\forall z\in \mathbb {Z} )(\forall n\in \mathbb {N} ),\ z<z+n,$

并且乘法的恒等式、封闭性和分配律对整数$\mathbb {Z} ,$ 成立，那么乘法运算也可以扩展到包括所有整数$\mathbb {Z} .$

它们可以很容易地从自然数构造出来。它们可以是序对 (a,b) 的等价类，其中 a 和 b 都是自然数。然后可以说，当 a+d=b+c 时，(a,b) 和 (c,d) 相等，和 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，积 (a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc)，其中使用了自然数的和与积的定义。有一个形式为 (a,a) 的加法单位元，因为 (a,a)+(b,c)=(a+b,a+c)，它等价于 (b,c)，因为 a+b+c=a+b+c。所有形式为 (a,a) 的这些元素显然是等价的。所有元素 (a,b) 都有加法逆元 (b,a)，因为 (a,b)+(b,a)=(a+b,a+b)。思考这些序对 (a,b) 的最佳方式是将它们视为 a-b。因此，(a,a) 可以被认为是“0”。

绝对值

通常，我们将整数视为延伸到正负无穷大。由于这个几何概念对于我们的理解是如此基本，我们希望讨论几何性质。特别是，我们需要知道两个整数之间的距离的含义。为此，我们将符号$|x|$ 定义为给出从$x$ 到零的距离的函数，通过将$\mathbb {-N}$ 映射到它们在$\mathbb {N}$ 中的相应逆元，并将零映射到自身。

$|x|=\left\{{\begin{matrix}x&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x&{\mbox{if }}x<0\\\end{matrix}}\right.$

现在我们可以通过取它们差的绝对值来定义两个整数之间的距离，在任何几何环境中我们将其称为点：$d(x,y)=|x-y|\$。此距离函数满足一些不错的几何性质

1. 正性

   $d(x,y)\geq 0$ 且当且仅当 $x=y$ 时等于 0。

2. 对称性

   $d(x,y)=d(y,x).$

3. 三角不等式

   $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z).$

请特别注意三角不等式，因为它将在后面的章节中被频繁使用。

一般来说，任何具有满足这些性质的距离函数的集合都被称为度量空间。很容易证明，整数在度量 d 下构成一个度量空间

1. 正性
   • 如果 $x\geq 0$，那么 $|x|=x\geq 0$。
   • 如果 $x<0\$，那么 $|x|=-x\ >0$。
2. 对称性
   • 如果 $x-y\geq 0$，那么 $y-x\leq 0$，所以 $|x-y|=x-y=-(y-x)=|y-x|\$。
   • 如果 $x-y\ <0$，那么 $y-x>0\$，所以 $|x-y|=-(x-y)=y-x=|y-x|\$。
3. 三角不等式
   • 如果 $x\geq 0$，那么 $|x|=x\geq 0>-|x|$。
   • 如果 $x<0\$，那么 $|x|>0>x=-|x|\$。
   • 这给了我们 $-|x|\leq x\leq |x|$ 和 $-|y|\leq y\leq |y|$。
   • 相加，我们看到 $-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|$。
   • 如果 $x+y\geq 0$，那么 $|x+y|=x+y\leq |x|+|y|$。
   • 如果 $x+y<0\$，那么 $|x+y|=-(x+y)\leq |x|+|y|$。
   • 因此，在所有情况下，$|x+y|\leq |x|+|y|$。
   • 将 $x\$ 替换为 $x-y\$ 和 $y\$ 替换为 $y-z\$，得出 $|x-y|+|y-z|\geq |x-z|$。

绝对值的另一个基本性质是它具有乘法性

$|x||y|=|xy|.$

证明留作练习。正如上面所述，这仅仅是检查所有情况的问题。