算术/乘法和除法

乘法

乘法用星号 (*)、$\times$ 或 $\cdot$ 符号表示。但是， “×” 符号通常不用于代数，而只限于非常基本的初等数学，因为它很容易与 “x” 变量混淆。通用的乘法运算符将接受任何两个数字（称为因子）作为操作数。结果称为两个数字的乘积。如果乘数不是都写成数字，则可以省略乘号。因此，以下示例表达式是等价的

$3*\!(a*b)=3\times \!(a\times b)=3\!\cdot \!(a\!\cdot \!b)=3\!\cdot \!(ab)=3(a\!\cdot \!b)=3(ab)=3ab$

乘法是重复加法的形式。例如，$3\times 5$ 表示

$3+3+3+3+3\quad \operatorname {or} \quad 5+5+5$

乘法也是可交换的。这意味着两个数字（因子）的乘积将给出相同的乘积，无论数字相乘的顺序如何。以下表达式也是等价的

$3\!\cdot \!(ab)=a\!\cdot \!(3b)=b\!\cdot \!(3a)$

指数为大于 1 的整数的数字表示要相乘的因子的数量，因此该数字将自身乘以与指数显示的次数一样多的次数。指数为 1 的数字只有一个因子，因此等于该数字。任何指数为 0 的数字都完全没有因子，结果为 1。例如

$5^{3}=5\times 5\times 5\qquad \qquad 5^{1}=5\qquad \qquad 5^{0}=1$

长乘法

长乘法是大于 12 的数字的乘法，但通常只使用 1 到 9 的事实。在你尝试长乘法之前，请确保你知道 1 到 9 的事实。其他都是可选的，但这使得长除法更容易。垂直乘法方法的步骤是

1. 写下数字。

  52
  19
 ------

2. 乘以 9 乘以 2。如果答案有十位数，则进位。乘以 9 乘以 5，加上进位，然后写下数字。你应该有

  1
  52
  19
------
 468

3. 乘以 1 乘以 2，然后 1 乘以 5，如果需要，进位，但这次将答案向左移动一个空格。如果你想，你可以在 8 下面放一个零。你现在应该有

  52
  19
------
 468
 520

4. 现在加。

 52
 19
-----
468
520
-----
988

如果你是乘以小数，那么先不带小数点进行乘法运算。计算两个数字中小数位数的总和。在答案中，从右边数起找到这个总和的位数，在该位数前面加上小数点。

5. 简而言之

将问题竖着写下来。将第二个数字的最后一位乘以第一个数字的最后一位。如果答案中有十位数，则需要进位。再将该位乘以第二个数字的倒数第二位，并将进位加到结果中。对于第二个数字的倒数第二位重复这个过程，但需要在之前得到的数字下方末尾添加一个 0，如果第三行，则需要添加 2 个 0，并重复这个过程直到问题完成。

快速乘法

快速乘法是一种可以快速计算大于 10 小于 1000 的数字的乘法方法，通过 "10 的方法" 进行乘法。只需识别出数字中包含多少位即可。以下步骤可用于快速计算乘法。

1. 看一下数字末尾是否有零，如果有，可以简单地将这些零 "加到" 答案中。

  45,300 x 5
  The easy way to do this is "taking away" the 2 zeros for now and reserving them for later.
  
  the number is now 453 x 5, which is much too mind boggling to do. 
  Now here comes the interesting part of the method
  of "10's"

2. 将数字分解成其 "10 的部分"。

  What this means is basically breakup the number by its place value.

  453 = 4 (hundreds place) + 5 (tens place) + 3 (ones place)

  Knowing that, this become 400, 50 and 3.

3. 乘法并应用 "10 的部分"。

  okay now simply multiply:

  So, here is a step where we essentially take out the "0's" out for a bit and put it back
  in when were done.

  so, its now 5 x 400. in order to make it easier, "take out" the zeroes for now and 
  multiply 4 x 5 = 20. Now
  heres the magic. Since you magically took away the 2 zeroes, you will now suddenly make
  the 2 zeroes reappear!
  20 + "00" = 2000! AMAZING! (the quotes means they're magic zeroes, and simply not the value 
  of zero!)

  50 is done the same away. Take away the "0" and multiply 5 x 5 = 25. Now add it back, 25 +
  "0" = 250

  Simply 3 x 5 = 15

4. 现在，将它们加起来！

  2000 
   250
    15 
 ----- 
  2265!

5. 现在将开始时保留的两个零 (来自原始的 45,300) 添加到末尾，得到答案：226,500。

步骤 2：乘法运算不以零结尾的数字

  2102 x 52

使用之前的步骤，我们可以识别出

2102 = 2 (thousand) + 1(hundred) + 0 (tens) + 2 (ones)
  52 = 5 (tens) + 2 (ones)

Now, to make it easier on yourself, circle the number 2 of "52" and put it in your magic 
hat. (2)

Now the problem becomes 2102 x 50. Look familiar? First of all, take out the magic "0" and 
put it in the hat, too.
Since we recognized that 50 is basically 5 with an added magical "0" to it, we now see the 
problem as

2102 x 5!

Now break down the bigger, uglier number and start multiplying:
2000 x 5 (take away the magic zeroes) = 2 x 5 = 10 + "000"(now put them back!) = 10,000 (notice it has 4 zeroes)
 100 x 5 (take away the magic zeroes) = 1 x 5 = 5 + "00"  (now put them back!) =   500 (2 zeroes)
   2 x 5  (sadly, no magical zeroes)  = 2 x 5 = 10                             =    10 (1 zero)

 Remember, after every step, be sure to put your friendly magical "0" back in:
 10,000 + "0" =100,000  
    500 + "0" =  5,000
     10 + "0" =    100
   (notice how the number of zeroes on the left side equal the number of zeroes on the right
   side)

Now add them all together:

 100000
   5000
    100
 -----
 105100....... That's not all yet folks! Do you remember the 2 in your magic hat? Lets get it to work:

  2 x 2102 = 
      2000 x 2 = 2 x 2 = 4 = 4000
       100 x 2 = 1 x 2 = 2 =  200
         2 x 2             =    4
                     total:  4204

  So the answer should be
   105,100
     4,204
   -------
   109,304! Wow!

外部资源

为了练习这个概念，我推荐 Developmental Mathematics，第 8 卷，以及用来记忆乘法表的卡片。这是我最喜欢的培养乘法技能的方法，但如果您喜欢其他方法，可以尝试 Miquon Math。这是一个针对 1-3 年级学生的完整课程，也是培养高级数学技能的优秀课程。另一个选择是 Progress in Mathematics，这是一个针对 Sadlier-Oxford 的基于标准的数学课程。当然，要不断提高学生的乘法技能，直到学生可以轻松地进行 5 位数的乘法运算。

除法

除法使用 ÷ 符号。它也可以用斜杠 (/)、 ：或分数线来表示。通用除法运算符将使用任意两个数字作为操作数。÷ 符号前的数字称为被除数，÷ 符号后的数字称为除数。结果称为两个数字的商。

除法不是可交换运算。交换被除数和除数可能会得到不同的商 (但有时不会)。除以 0 的除法没有定义（更确切地说，它是未定的，这意味着答案不止一个，因此我们不赋予它任何值）。它没有答案。

示例

• $4/2=2$ 和 $2/4=0.5$

长除法

在 算术 中，长除法是一种用于对两个 实数 进行 除法 的算法。它只需要写下数字，即使对于大型 被除数 也易于执行，因为该 算法 将复杂的除法问题分解为更小的问题。但是，该过程需要将各种数字除以 除数：对于一位数除数来说这很简单，但对于更大的除数来说则会变得更加困难。

此方法的更通用版本用于 多项式除法（有时使用称为 综合除法 的简写版本）。

在长除法表示法中，500 ÷ 4 = 125 表示如下

${\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\\end{matrix}}$

该方法包括以下步骤

1. 以此形式写下被除数和除数

$4{\overline {)500}}$

在本例中，500 是被除数，4 是除数。

2. 考虑被除数的左端数字 (5)。找到小于左端数字的除数的最大倍数：换句话说，在脑海中进行 "5 除以 4" 的计算。如果该数字太小，则考虑前两位数字。

在本例中，4 的最大倍数小于 5 是 4。将这个数字写在被除数的左端数字下方。将倍数除以除数 (在本例中，4 除以 4)，并将结果 (在本例中，1) 写在被除数的左端数字上方的线上方。

${\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\4\end{matrix}}$

3. 从被除数中使用的数字中减去被除数下方的数字 (在本例中，从 5 中减去 4)。将结果 (余数) (在本例中，1) 写在下方并位于同一列，然后将被除数的第二位数字 (在本例中，第一个零) 下放到它的右侧。这将得到一个新的数字，需要用它除以除数。

${\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\end{matrix}}$

4. 现在对这个新数重复步骤 2 和 3，并将结果写入相应的列（在本例中，个位数列与原被除数的第二位数对齐）：将乘积和余数写在新数的下面，并将答案写在横线上面。

${\begin{matrix}\,\,12\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\end{matrix}}$

5. 重复步骤 4，直到被除数中没有剩余的数字为止。横线上方写下的数字就是商，最后计算出的余数就是整个问题的余数。

${\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\quad \;\,{\underline {20}}\\\qquad 0\end{matrix}}$