核医学基础物理/反卷积分析

简介

核医学肾图代表肾脏对注射到外周静脉的放射性示踪剂的反应。因此，示踪剂到达肾脏的时间被拖延，无法直接测量其瞬时反应。 反卷积 分析，正如您将在下面看到，是一种从肾图中推导出瞬时反应的方法，因此可以更可靠地比较同一患者或不同患者的肾脏功能。

肾图

在 肾图 中，背景校正后的曲线表明每个肾脏中示踪剂的数量如何随时间变化。此外，每条曲线的形状取决于示踪剂的速率

• 通过肾动脉系统进入肾脏，以及
• 通过输尿管离开肾脏。

示踪剂进入肾脏的速率称为输入速率，I(t)，它取决于

• 肾动脉中示踪剂的血浆浓度，P(t)，
• 肾脏从血浆中提取示踪剂的速率。

对于从血浆中快速提取的示踪剂（例如OIH、MAG3），提取速率取决于有效肾血浆流量(ERPF)，因此

I(t) = (ERPF) P(t)

.

对于通过肾小球滤过提取的示踪剂（例如DTPA），提取速率取决于肾小球滤过率(GFR)，因此

I(t) = (GFR) P(t)

.

血浆浓度随时间变化，P(t)，最初由一个尖峰组成，其幅度和持续时间取决于

• 注射速度，
• 注射部位，以及
• 示踪剂在血液中混合的速率。

在初始尖峰之后，血浆浓度，P(t)，随着时间的推移呈双指数下降，这取决于

• 与血管外空间的交换速率，以及
• 肾脏对示踪剂的吸收。

因此，血浆浓度，P(t)，取决于与肾功能无关的因素。因此，不同患者的肾图，或同一患者在不同时间的肾图，可能难以直接比较。

理想肾图

如果能够直接将示踪剂的理想注射送入肾脏，则可以获得理想肾图。理论上，这种理想的注射应该产生一个输入速率，I(t)，它由一个狄拉克函数组成，称为脉冲输入。

由此产生的理想肾图称为肾脏的脉冲响应，H(t)。

在实践中，测量了肾脏对非理想输入速率的反应。这种真实的反应，R(t)，可以认为是实际输入速率和肾脏的脉冲响应的卷积的结果

R(t) = I(t) * H(t).

根据测量 R(t) 和 I(t) 来确定 H(t) 的过程称为反卷积。换句话说，肾图曲线的反卷积可以确定肾脏对理想注射的反应。因此，可以获得更好的患者间和患者内的比较——至少在理论上！

卷积

在处理反卷积分析之前，我们首先要考虑 卷积 过程。

考虑以下图中所示的肾脏的极度简化表示模型。这种肾脏模型认为肾脏由四条路径组成，示踪剂在这四条路径中均匀流动。假设示踪剂通过最短路径需要3分钟，通过最长路径需要6分钟——（你猜对了！）通过其他两条路径分别需要4分钟和5分钟。

伽马相机成像假设肾脏的示意图。

当 狄拉克函数，I，作为输入被输入到这个模型中时，肾脏的反应将由脉冲响应，H，给出，如上所示。脉冲响应的形式可以通过考虑示踪剂通过模型的时间过程来理解

• 在脉冲注射后的前三分钟，脉冲响应，H，将等于1，因为所有输入示踪剂量都保留在伽马相机视野中。
• 在第4分钟，示踪剂量将减少，因为有25%的示踪剂已经通过最短路径离开了视野，因此H将下降到0.75。
• 类似地，在第5分钟，它将下降到0.5。
• 最后在第6分钟下降到0.25——并在第7分钟下降到零。

这里要注意的重要一点是，脉冲响应函数的下降反映了每条路径的转运时间的信息。这种下降可以通过平均转运时间和最大转运时间来表征。

请注意，这个简单的模型可以理想地扩展到包含大量路径，从而生成更能代表真实肾脏反应的转运时间。还要注意，这种建模形式可以分别应用于肾实质、肾盂和整个肾脏。

然而，不幸的是，除了可能在肾动脉注射的情况下，在实践中几乎不可能产生理想的脉冲输入！然而，上述思路可以修改以包括非理想注射的影响，如下所示

对非理想输入的响应示意图。

在这里，我们极度简化的肾脏模型的输入不是理想的脉冲注射，而是被分散开的，因此示踪剂量随着时间的推移呈指数下降。当假定整个肾脏对一系列脉冲输入的响应等于对每个脉冲的单独响应之和时，我们可以推断出

$R_{1}=I_{1}H_{1}Dt\,\!$

$R_{2}=(I_{1}H_{2}+I_{2}H_{1})Dt\,\!$

$R_{3}=(I_{1}H_{3}+I_{2}H_{2}+I_{3}H_{1})Dt\,\!$

$R_{4}=(I_{1}H_{4}+I_{2}H_{3}+I_{3}H_{2}+I_{4}H_{1})Dt\,\!$

等等。

其中Dt是每次测量示踪剂数量所用的时间间隔。

因此，一般来说

$R_{i}=\sum _{j=1}^{i}I_{j}H_{i-j+1}\Delta t$

其中i = 1, 2, 3, 4, .....

将这种关系表示为一个连续函数（而不是离散函数），我们得到所谓的卷积积分

$R(t)=\int _{0}^{t}I(\tau )H(t-\tau )d\tau$

通常写成以下形式

$R(t)=I(t)\cdot H(t)\,\!$

换句话说，真实肾图曲线R(t)可以看作是理想肾图曲线H(t)与真实输入函数I(t)卷积的结果。

上面描述的模型是线性系统的典型例子，即系统对一系列脉冲输入的响应，是由对每个脉冲的单独响应之和得到的。线性系统还假设在测量期间示踪剂的流动在系统中是恒定的，即该系统被假定为平稳的。换句话说，对于肾图来说，假设在研究过程中肾清除率和尿流量保持恒定。肾清除率在肾图的初始阶段之后可以假定为保持恒定，因为所用示踪剂的量很小（无论是O¹²³IH、^99mTc-MAG3还是^99mTc-DTPA）都不会影响肾功能。然而，对于尿流量来说，情况并非如此，因为观察到肾盂排泄经常发生“爆发”，而不是连续流动。注意，这种非平稳性会导致在应用反卷积分析时出现重大问题。

反卷积

反卷积是用于从I和R的测量值中确定H的数学过程。应用于肾图的反卷积技术包括

• 矩阵求逆 - 将卷积积分表示为矩阵形式，如

$R=I\cdot HDt\,\!$

可以求解得到

$H={\frac {1}{\Delta t}}I^{-1}\cdot R$

其中I^-1是矩阵I的逆矩阵。

• 傅里叶变换 - 计算卷积积分的傅里叶变换（FT），即

$FT[R(t)]=FT[I(t)]\cdot FT[H(t)]\,\!$

H(t)可以从以下公式确定

$H(t)=IFT\left\lbrack {\frac {FT\,[R(t)]}{FT\,[I(t)]}}\right\rbrack$

即：将R(t)的傅里叶变换除以I(t)的傅里叶变换，并计算结果的逆傅里叶变换（IFT）。

这两种技术对测量中的统计波动非常敏感，因此在进行傅里叶变换之前，通常会对R(t)和I(t)的测量曲线进行平滑处理。

在临床实践中，可以使用背景校正后的肾图曲线作为R(t)，并且可以使用例如心脏上的血管感兴趣区域（RoI）作为I(t)的测量值。反卷积后获得的脉冲响应H(t)的形式与下图所示类似。

使用反卷积肾图获得的脉冲响应的一般形式。

H₀是时间t = 0时的脉冲响应，可以证明它等于肾脏摄取常数。指示示踪剂通过肾脏所需时间的指标可以包括最小、平均和最大转运时间，以及转运时间范围。还可以通过对H(t)进行微分来生成转运时间谱。

最后，应该注意的是，反卷积分析中并不严格要求背景减除肾图，可以使用原始肾图曲线直接进行分析。原因可以通过考虑从原始数据测量的总体响应函数来自肾脏响应函数和组织响应函数之和来解释，如下图所示。

肾脏和组织响应函数叠加的示意图。

肾脏转运时间仍然可以从组合响应函数中获得，并且可以看出，摄取常数可以通过外推来确定。