核医学基础物理/放射性衰变定律

所有已知原子核的稳定性图，以 Z（质子数）与 N（中子数）为坐标轴绘制。颜色对应半衰期 T½ 的值，使用强对数刻度，因为半衰期在 10⁻²⁰ 到 10²⁰ 秒之间变化。

我们在上一章中从现象学的角度介绍了放射性衰变。在本章中，我们将从更一般化的分析角度考虑这一主题。

这样做是为了使我们能够发展一种思维方式，帮助我们从定量、数学的角度理解正在发生的事情。我们将介绍诸如衰变常数和半衰期的概念，以及用于测量放射性的单位。此外，您将有机会通过三个关于该主题的问题来加深理解。

假设

在物理学的大多数分析形式中，通常的起点是做出一些简化情况的假设。通过简化情况，我们可以消除无关的影响，这些影响往往会使情况变得复杂，但在这样做的时候，我们有时会使情况变得过于简单，以至于它变得有点过于抽象，难以理解。

出于这个原因，我们将尝试将放射性衰变与一个更常见的情况联系起来，我们将使用它作为类比，希望我们能够克服该主题的抽象特征。我们将使用的类比是制作爆米花。

所以，想象一下在锅里放一些油，加入玉米粒，在炉子上加热锅，观察发生的事情。您也可以尝试一下，边尝试边思考这种情况！

对于我们的放射性衰变情况，我们首先考虑一个样本，其中包含大量相同类型的放射性原子核。例如，这就是锅里的未爆开的玉米粒。

其次，我们假设所有放射性原子核都通过相同的过程衰变，无论是α衰变、β衰变还是γ衰变。换句话说，我们的未爆开的玉米粒在加热过程中会在某个阶段爆开。

第三，花点时间思考一下，我们只能从统计的角度考虑正在发生的事情。如果你观察单个玉米粒，你能确定它什么时候会爆开吗？不能。但是，您能确定的是，在一段时间后，大量的玉米粒会爆开。但是，对于单个玉米粒来说，确定这种情况就比较困难了。因此，我们不处理单个实体，而是考虑更大范围内的发生情况，这就是统计学发挥作用的地方。我们可以说，放射性衰变是一个统计性的单次过程，也就是说，当一个原子核衰变后，它不能再重复这个过程。换句话说，当一颗玉米粒爆开后，它就不能再重复这个过程了。很简单！

此外，只要一个放射性原子核没有衰变，它在下一刻衰变的概率保持不变。换句话说，如果一颗玉米粒在某个时间点没有爆开，它在下一秒爆开的可能性与前一秒相同。赌注是公平的！

不过，我们不要把爆米花类比推得太远，因为我们知道，我们可以通过对锅施加的热量来控制爆开的速度。但是，就我们的放射性原子核而言，我们无能为力地控制正在发生的事情。原子核以什么速度爆开（或者换句话说，衰变）不受加热样本的影响。无论冷却样本，还是施加更大的压力，无论改变重力环境，例如把它带到太空，还是改变其物理环境的其他方面，都不会影响到这一点。似乎只有原子核本身决定单个原子核是否会衰变。但平均而言，我们可以说它将在某个阶段衰变。

放射性衰变定律

现在让我们使用一些符号来减少描述正在发生的事情的写作量，并利用一些数学技巧，进一步简化情况。

假设在放射性物质样本中，在某个时间 t 时，有 N 个原子核没有衰变。那么，在接下来的短暂时间内会发生什么呢？肯定有一些原子核会衰变。但会有多少个呢？

根据我们上面的推理，我们可以说，衰变的原子核数量将取决于原子核的总数 N，以及短暂时间段的长度。换句话说，原子核越多，衰变的原子核就越多，时间段越长，衰变的原子核就越多。我们把衰变的原子核数量记为dN，把短暂的时间间隔记为dt。

所以，我们推断出，在从 t 到 t+dt 的时间间隔内衰变的放射性原子核数量必须与 N 和 dt 成正比。因此，用符号表示为

$-dN\propto N\cdot dt\,\!$

负号表示 N 正在减小。

将该方程中的比例关系转换为等式，我们可以写成

$-dN=\lambda N\cdot dt\,\!$

其中比例常数 λ（读作拉姆达）称为衰变常数。

在 N 两边除以，我们可以将该方程改写为

$-{\frac {dN}{N}}=\lambda \cdot dt$

因此，这个方程描述了任何短暂时间间隔 dt 内的情况。为了找出所有时间段内的情况，我们只需将每个短暂时间间隔内的情况加起来。换句话说，我们对上述方程进行积分。更正式地说，我们可以说，从 t = 0 到任何后面的时间 t 的时间段内，放射性原子核的数量将从 N₀ 减小到 N_t，因此

$-\int _{N_{0}}^{N_{t}}{\frac {dN}{N}}=\lambda \int _{0}^{t}dt$

$\therefore \ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda t$

$\therefore {\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore N_{t}=N_{0}{\text{exp}}\,(-\lambda t)$

这个最终表达式被称为**放射性衰变定律**。它告诉我们放射性原子核的数量将随着时间呈指数下降，下降速率由衰变常数控制。

在更详细地研究这个表达式之前，让我们回顾一下我们上面使用的数学方法。首先，我们使用积分学来找出一段时间内发生了什么，方法是将我们已知的短时间内发生的事情进行积分。其次，我们使用微积分中的一个关系，即

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln x$

其中 ln x 表示x的自然对数。第三，我们使用了对数的定义，即当

$\ln x=y\,\!$

那么，

$x={\text{exp}}\ y\,\!$

现在，回到放射性衰变定律。该定律告诉我们，放射性原子核的数量将随着时间呈指数下降，下降速率由衰变常数控制。下图以图形形式显示了该定律

该图绘制了任意时间t处的放射性原子核数量N_t与时间t的关系。我们可以看到，放射性原子核的数量从N₀（即t = 0时的数量）开始快速下降，然后以经典的指数方式逐渐减慢。

下图显示了衰变常数的影响

这里的所有三条曲线都是指数曲线，只有衰变常数不同。注意，当衰变常数较小时，曲线下降相对缓慢；当衰变常数较大时，曲线下降速度很快。

衰变常数是单个放射性核素的特征。有些放射性核素，例如铀-238，具有较小的衰变常数，因此在很长一段时间内衰变速度相当慢。其他原子核，例如锝-99m，具有相对较大的衰变常数，衰变速度快得多。

我们还可以从另一个角度来看放射性衰变定律，即绘制N_t的对数与时间的关系图。换句话说，根据我们上面的分析，绘制表达式

$\ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda t$

的形式

$\ln N_{t}=-\lambda t+\ln N_{0}\,\!$

注意，这个表达式只是一个y = mx + c形式的方程，其中m = -l，c = ln N₀。因此，它是一个斜率为-l的直线的方程，如下图所示。当我们想考虑一个没有直接指数行为复杂性的情况时，这种图有时很有用。

半衰期

我们大多数人没有被教导以对数或指数的方式本能地思考，即使许多自然现象都表现出指数行为。我们大多数人在学校学到的思维方式都是基于线性变化的，因此我们很难直观地理解放射性衰变定律。因此，通常会从该定律中推导出一个指标，帮助我们更清楚地理解正在发生的事情。

这个指标被称为**半衰期**，它表示放射性同位素的放射性下降到一半所需的时间。从图形的角度来看，我们可以说，当

$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$

所需的时间就是半衰期

注意，半衰期并不表示物质保持放射性的时间，而仅仅是其放射性下降到一半所需的时间。下表列出了部分放射性同位素的半衰期示例。注意，其中一些同位素的半衰期相对较短。这些同位素通常用于医学诊断，因为它们在给患者服用后不会保持放射性很长时间，因此导致患者的辐射剂量相对较低。

放射性同位素	半衰期（约）
81mKr	13 秒
99mTc	6 小时
131I	8 天
51Cr	1 个月
137Cs	30 年
241Am	462 年
226Ra	1620 年
238U	4.51 x 109 年

但当我们想要使用这些同位素时，它们确实会带来一个后勤问题，因为附近可能没有放射性同位素生产设施。例如，假设我们想用^99mTc进行患者研究，最近的生产这种同位素的核设施距离我们5000公里。例如，生产设施可能在悉尼，而患者可能在珀斯。在核电站生产这种同位素后，它会以6小时的半衰期衰变。所以我们把材料装上卡车，开到悉尼机场。同位素在卡车停在悉尼的交通中时会衰变，然后在等待飞机飞往珀斯时会继续衰变。然后在飞往珀斯时会继续衰变，等等。当它到达我们的患者时，它的放射性将大大降低，可能已经降低到对患者的调查毫无用处。如果我们想使用^81mKr而不是^99mTc，那该怎么办？你将在本书的另一章中看到，像这样的后勤挑战催生了一些非常创新的解决方案。我们稍后再讨论这个问题！

从上表可以看出，其他同位素的半衰期非常长。例如，²²⁶Ra 的半衰期超过 1500 年。这种同位素过去曾用于医学治疗。想想这里出现的物流问题。它们显然与将材料从生产点运输到使用点无关。但它们与材料到达使用点后的保存方式有关。我们必须有一个储存设施，以便材料能够安全地长期保存。但是要保存多久呢？用于医学的放射性物质数量的一般经验法则是，放射性将在大约 10 个半衰期内保持显著。所以，我们必须有一个安全的环境来储存²²⁶Ra 大约 16000 年！这个储存设施必须能抵御地震、爆炸等许多不可预见事件，并以我们的孩子、孩子们的孩子能够理解的方式保存。这是一个非常严肃的任务！

衰变常数和半衰期之间的关系

基于以上内容，您应该能够理解衰变常数和半衰期之间存在关系。例如，当衰变常数很小时，半衰期应该很长，相应地，当衰变常数很大时，半衰期应该很短。但是这种关系的本质到底是什么呢？

我们可以通过使用半衰期的定义并将其应用于放射性衰变定律来轻松回答这个问题。

再次，该定律告诉我们，在任何时间点 t

$N_{t}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)\,\!$

而半衰期的定义告诉我们

$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$

当

$t=t_{\frac {1}{2}}$

因此，我们可以通过用以下方式替换 N_t 和 t 来重新编写放射性衰变定律

${\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

因此

${\frac {1}{2}}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

$\therefore 2^{-1}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

$\therefore \ln 2^{-1}=-\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$\therefore \ln 2=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$\therefore 0.693=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {0.693}{\lambda }}$

和

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}$

最后两个等式表达了衰变常数和半衰期之间的关系。您将在解决与放射性相关的数值问题时发现它们非常有用，通常它们是解决数值问题的第一步。

放射性的单位

放射性的 SI 或公制单位以亨利·贝克勒尔的名字命名，以纪念他发现放射性，被称为贝克勒尔，符号为 Bq。 贝克勒尔定义为产生每秒 1 次衰变的放射性物质的量。

在医学诊断工作中，1 Bq 是一个相当小的放射性剂量。事实上，如果你把它想象成一个微不足道的放射性剂量，很容易记住它的定义。出于这个原因，千贝克勒尔 (kBq) 和兆贝克勒尔 (MBq) 更常被使用。

放射性的传统单位以玛丽·居里命名，称为居里，符号为 Ci。 居里定义为产生每秒 3.7 x 10¹⁰ 次衰变的放射性物质的量。换句话说，每秒 370 亿次衰变，正如您可能理解的那样，这是一个相当大的放射性剂量。对于医学诊断工作，毫居里 (mCi) 和微居里 (µCi) 因此更常被使用。

为什么有两个单位？实质上，就像所有其他计量单位一样，它取决于你身处世界哪个地方。例如，公里在欧洲和澳大利亚被广泛用作距离单位，英里在美国被使用。因此，如果你在阅读一本美国教科书，你可能会发现居里被用作放射性单位，如果你在阅读一本澳大利亚书籍，它很可能指的是贝克勒尔，如果你在阅读一本欧洲书籍，则两种单位都可能被使用。因此，您会发现了解和理解这两个单位是必要的。

多项选择题

点击 这里访问关于放射性衰变定律的 MCQ。

问题

下面给出三个问题，以帮助您加深对本章内容的理解。第一个问题相对简单，将检验您对放射性衰变定律以及半衰期的概念的应用。第二个问题更具挑战性，将帮助您将放射性衰变定律与放射性物质样品中衰变的放射性原子核数量联系起来。第三个问题将通过从稍微不同的角度提出一个类似的问题来帮助您理解在第二个问题中使用的方法。

问题 1

(a) ^99mTc 的半衰期为 6 小时。经过多长时间，将剩下 1/16 的放射性同位素？

(b) 用另一种方法验证您的答案。

答案:

(a) 从我们之前建立的衰变常数和半衰期之间的关系开始，我们可以按如下方式计算衰变常数

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hr}}^{-1}$

现在应用放射性衰变定律，

$N_{t}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)\,\!$

我们可以将其改写为以下形式

${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda t)$

问题告诉我们 N₀ 减少到其值的 1/16，即

${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\frac {1}{16}}$

因此

${\frac {1}{16}}={\text{exp}}\,(-0.1155t)$

我们需要为此求解 t。一种方法如下

$16^{-1}={\text{exp}}\,(-0.1155t)$

$\therefore -\ln 16=-0.1155t\,\!$

$t={\frac {\ln 16}{0.1155}}=24\ {\text{hours}}$

因此，需要 24 小时才能剩下 1/16 的放射性。

(b) 验证此答案的一种方法是使用半衰期的定义。我们被告知 ^99mTc 的半衰期为 6 小时。因此，经过六个小时，将剩下放射性的一半。

因此，经过 12 小时，将剩下四分之一；经过 18 小时，将剩下八分之一；经过 24 小时，将剩下十六分之一。我们得到了与 (a) 部分相同的答案。所以我们一定是正确的！

请注意，如果我们处理的是放射性减半、四分之一等等的相对简单的情况，第二种方法很有用。但是，假设问题问需要多长时间才能使放射性降至其初始值的十分之一。在这种情况下，从半衰期定义中推论比较困难，而上面 (a) 部分使用的数学方法将更容易得出答案。

问题 2

给定t_1/2: 1620 年和阿伏伽德罗常数：6.023 x 10²³，求 1 g ²²⁶Ra 样品的放射性。

答案:

我们可以像在问题 1(a) 中一样开始答案，使用以下公式从半衰期计算衰变常数

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{1620}}=4.28\cdot 10^{-4}\ {\text{year}}^{-1}$

$\therefore \lambda =1.36\cdot 10^{-11}s^{-1}$

请注意，上面将“每年”转换为“每秒”时使用的年长为 365.25 天，以考虑闰年。此外，转换为“每秒”单位的原因是，放射性的单位表示为每秒衰变的原子核数量。

其次，我们可以计算出 1 克 ²²⁶Ra 包含

$N={\frac {({\text{Avogadro No.}})({\text{Mass}})}{\text{Mass Number}}}={\frac {(6.023\cdot 10^{23})(1g)}{226}}=2.7\cdot 10^{21}\ {\text{nuclei}}$

第三，我们需要用单位时间内衰变的原子核数来表示放射性衰变定律。我们可以通过以下方式对该方程进行微分来实现这一点。

$N=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore {\frac {dN}{dt}}=N_{0}\cdot -\lambda \ {\text{exp}}\,(-\lambda t)=-\lambda N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$

$\therefore \left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda N$

将上述结果表示为绝对值的原因是，为了去除负号，因为我们已经知道该数字在减少。

现在我们可以输入我们上面推导出的 λ 和 N 的数据。

$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=(1.36\cdot 10^{-11})(2.7\cdot 10^{21})$

$\therefore \left|{\frac {dN}{dt}}\right|=3.6\cdot 10^{10}\ {\text{decays per second}}$

因此，我们 1 克 镭-226 样品的放射性约为 1 居里。

这不是一个令人惊讶的答案，因为居里的定义最初被设想为 1 克 镭-226 的放射性！

问题 3

^99mTc 的最小质量是多少，才能具有 1 MBq 的放射性？假设半衰期为 6 小时，阿伏伽德罗常数为 6.023 x 10²³。

答案

从衰变常数和半衰期之间的关系开始

$\lambda ={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hour}}^{-1}=3.21\cdot 10^{-5}$

其次，该问题告诉我们放射性为 1 MBq。因此，由于 1 MBq = 1 x 10⁶ 次衰变每秒，

$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda N=1\cdot 10^{6}\ {\text{dps}}$

$\therefore N={\frac {\left|{\frac {dN}{dt}}\right|}{\lambda }}={\frac {1\cdot 10^{6}}{3.21\cdot 10^{-5}}}=3.116\cdot 10^{10}$

最后，这些原子核的质量可以按如下方式计算

${\text{Mass of N nuclei}}={\frac {({\text{No. of Nuclei}})({\text{Mass No.}})}{\text{Avogadro Number}}}$

$={\frac {(3.116\cdot 10^{10})(99)}{6.023\cdot 10^{23}}}=5.122\cdot 10^{-12}\ {\text{g}}$

换句话说，仅仅超过 5 皮克的 ^99mTc 可以每秒发射一百万个伽马射线。该结果强化了一个重要的点，你将在辐射防护方面学到，那就是你应该像对待病原菌一样对待放射性物质！