生物物理学/斯特林近似

直接计算熵需要我们计算阶乘。计算相对较小的数字的阶乘不是问题（至少对于计算机来说）。但是，一旦你开始在具有非常大量的粒子数和能量包（摩尔级或 $10^{23}$）的系统中工作，就清楚地看到，直接计算阶乘是不可行的。相反，必须开发熵的近似值。我们将更仔细地研究被称为斯特林近似的内容。

回想一下，理想固体的多重性 Ω 是 $\Omega ={\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}}$
而熵是
$S=k_{B}{\rm {ln}}(\Omega )$.
$S=k_{B}{\rm {ln}}({\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}})$.
根据对数规则，
${\frac {S}{k_{B}}}=[{\rm {ln}}(N+n-1)!-{\rm {ln}}(n!)-{\rm {ln}}(N-1)!]$.

所有项本质上都是阶乘的对数，所以让我们研究一般情况。

当包含的整数跨越一个大的范围（即阿伏伽德罗常数）时，自然对数的积分近似等于所有整数的自然对数的总和。

${\rm {ln}}(x!)={\rm {ln}}((x)(x-1)(x-2)(x-3)...(2)(1))$,
这意味着根据对数规则 ${\rm {ln}}(x!)={\rm {ln}}(x)+{\rm {ln}}(x-1)+{\rm {ln}}(x-2)+...+{\rm {ln}}(2)+{\rm {ln}}(1)$，或者
${\rm {ln}}(x!)=\sum \limits _{i=0}^{x}{\rm {ln}}(i)$.
对于非常大的值（想想摩尔数量级的范围），这可以用以下公式近似
${\rm {ln}}(x!)\approx \int _{1}^{x}{\rm {ln}}(i)di$，其解为 $\int _{1}^{x}{\rm {ln}}(i)di=i{\rm {ln}}(i)-i{\Big |}_{1}^{x}$。
根据微积分基本定理，${\rm {ln}}(x!)\approx x{\rm {ln}}(x)-x+1$。对于非常大的数字，1 可以忽略不计，因此 ${\rm {ln}}(x!)\approx x{\rm {ln}}(x)-x$。因此，我们得到了以下近似值

${\rm {ln}}(N+n-1)\approx (N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-(N+n-1)$

${\rm {ln}}(x!)\approx n{\rm {ln}}(n)-n$

${\rm {ln}}(N-1)\approx (N-1){\rm {ln}}(N-1)-(N-1)$

因此 $(N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-{\rm {ln}}(n)-{\rm {ln}}(N-1)\approx (N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-(N+n-1)-n{\rm {ln}}(n)+n-(N-1){\rm {ln}}(N-1)+(N-1)$。

简化后，
$(N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-n{\rm {ln}}(n)-(N-1){\rm {ln}}(N-1)$

再次强调，我们假设这些数字非常大，使得 1 可以忽略不计。因此，$(N+n){\rm {ln}}(N+n)-n{\rm {ln}}(n)-(N){\rm {ln}}(N)$

因此，熵可以用$S=k_{B}[(N+n){\rm {ln}}(N+n)-n{\rm {ln}}(n)-(N-1){\rm {ln}}(N-1)]$ 近似表示。 记住，在对数前面乘以的数字可以写成对数内部数字的幂，所以 $S=k_{B}[{\rm {ln}}((N+n)^{(N+n)})-{\rm {ln}}(n^{n})-{\rm {ln}}(N^{N})]$， 或者 $S=k_{B}{\rm {ln}}[{\frac {(N+n)^{(N+n)}}{(n^{n})(N^{N})}}]$。 对于计算，第一个方程式更好，因为它在取对数之前没有进行指数运算。