CLEP 代数/绝对值方程

绝对值

绝对值用两个垂直线表示，$\vert$，在代数中很常见。它们表示数字在数轴上到 0 的距离。如果数字是负数，它将变为正数。如果数字是正数，它将保持为正数

$\left\vert 4\right\vert =4\,$
$\left\vert -4\right\vert =4\,$

对于正式定义

$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0\end{cases}}$

这可以读作以下内容

如果 $x\geq 0$，则 $|x|=x$
如果 $x<0$，则 $|x|=-x$

正式定义只是对函数在$x$值特定限制下的表示的声明。对于任何 $x<0$，函数在$xy$平面上的输出与线性函数 $y=-x$的输出相同。如果 $x\geq 0$，则输出与线性函数 $y=x$的输出相同。

就我们的目的而言，从技术上来说，$x\geq 0{\text{ and }}x<0$ 或 $x>0{\text{ and }}x\leq 0$ 如何定义并不重要。 只要你选择一个并保持一致，定义方式就没有关系。 按惯例，它通常按照开始时的正式定义来定义。

请注意，负数的相反数（负号，-）是正数。 例如，$-1$ 的相反数是 $1$。 通常，一些书籍和老师会将相反数称为给定大小的负数。 为方便起见，可以使用这个简写，所以请始终记住这种语言上的捷径。

绝对值函数的性质

我们将定义绝对值函数的性质。 了解这一点对于参加 CLEP 考试非常重要，因为它可以极大地加快解决绝对值方程式的速度。 最后，本节中的练习题会测试你对绝对值方程式的了解程度。 我们建议你尽你所能学习这些概念。 然而，当参加考试时，这并不绝对必要。

定义域和值域

设 $f(x)=|x|$，其映射为 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$。 根据定义，

$|x|={\begin{cases}-x&{\text{if}}&x<0\\x&{\text{if}}&x\geq 0\end{cases}}$.

因为它只能是 $y=-x{\text{ if }}x<0$ 和 $y=x{\text{ if }}x\geq 0$，因此不可能是 $|x|<0$。 然而，由于 $x$ 没有限制，定义域 $A$ 也没有限制。 因此，如果 $B$ 表示函数的值域，则 $A=\{x\in \mathbb {R} \}$ 和 $B=\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$。

定义：定义域和值域

设 $f(x)=|x|$ 其映射为 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 表示绝对值函数。如果 $A$ 是定义域，而 $B$ 是值域，那么 $A=\{x\in \mathbb {R} \}$ 且 $B=\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$.

根据上述定义，母函数存在一个绝对最小值，它存在于原点 $O(0,0)$

偶函数还是奇函数？

回顾一下偶函数和奇函数的定义。设有一个函数 $f:A\to B$

如果 $x\in A$ 且 $f(-x)=f(x)$，则 $f$ 是偶函数。

如果 $x\in A$ 且 $f(-x)=-f(x)$，则 $f$ 是奇函数。

证明：$f(x)=|x|$ 是偶函数 设 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto |x|$。根据定义， $f(x)=|x|={\begin{cases}-x&{\text{if}}&x<0\\x&{\text{if}}&x\geq 0\end{cases}}$. 假设 $x\in A$。设 $x>0\Rightarrow -x<0$. $f(x)=x$ $f(-x)=-(-x)=x$ $\Rightarrow f(-x)=f(x)\blacksquare$

因为 $f(x)$ 是偶函数，因此它也是 *对称* 的。 你可以在 这里 (图形及其性质) 找到相关内容。

一对一和满射？

回顾单射和满射的定义。

如果 $u,v\in A$，并且 $f(u)=f(v)\Rightarrow u=v$，那么 $f(x)$ 是单射的。

如果对所有 $b\in B$，存在一个 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$，那么 $f(x)$ 是满射的。

证明： $f(x)=|x|$ 不是单射的 假设 $u,v\in \mathbb {R}$ 并且 $f(u)=f(v)$。 通过前面的证明，我们已经证明了 $f(x)$ 是偶函数。 因此，我们可以使用值 $v=-u$ 来进行以下说明 $f(u)=f(v)\Rightarrow u\neq v$ 因此， $f(x)$ 不是单射的。

由于我们尚未建立如何通过代数运算来证明这些陈述，因此我们将随着对这些新函数的理解加深而逐步推导出其性质。 要判断一个函数是否为满射，只需检查其定义即可（如果不能满足定义，则说明它不是满射）。

证明：$f(x)=|x|$ 不是满射 假设 $b\in \mathbb {R}$。存在元素 $b=-1\in \mathbb {R}$，对于它，$f(x)=|x|\neq -1$ 对于所有 $x\in \mathbb {R}$。$\blacksquare$

您可以在这里找到定义的回顾 这里（函数的定义和解释）。

母函数的截距和拐点

图 1：$f(x)=|x|$ 在第一象限和第二象限（在 $x$ 轴上方）上绘制，只显示正的 $y$ 值。

利用前几节中提供的所有信息，我们可以推导出母函数 $f(x)=|x|$ 的图形。它是偶函数，因此关于 $y$ 轴对称，因为在 $x=0$ 处有一个 $x$ 截距。最后，因为我们知道定义域和值域，我们知道函数的最小值在 $O(0,0)$ 处，并且我们知道函数的定义，我们可以很容易地证明 $f(x)=|x|$ 的图形是右侧的图像（图 1）。

从图形中你应该看到以下内容的总结

• 定义域：$\{x\in \mathbb {R} \}$。
• 值域：$\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$。
• 在$O(0,0)$处有一个绝对最小值。
• 在$x=0$处有一个$x$轴截距。
• 在$y=0$处有一个$y$轴截距。
• 该图像是偶函数，关于$y$轴对称。
• 该图像是非单射且非满射的。
• 该图像没有拐点。

母函数的变换

很多时候，人们不会使用母函数。该函数在现实生活中许多应用中都涉及对输入或输出至少进行一些操作：垂直拉伸/压缩、水平拉伸/压缩、关于$x$轴的反射、关于$y$轴的反射以及垂直/水平平移。幸运的是，对这些函数进行操作时，变化并不大。例外情况将在后面详细介绍。

垂直扩张/压缩/翻转

设$f(x)=|x|$ 且 $g(x)=A\cdot f(x)$。必须存在一个$\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0},Ay_{0}\right)\in g(x)$。因此，

• 如果$A>1$，则$g(x)$ 是$f(x)$ 的$A$ 倍扩张。
• 如果$0<A<1$，则$g(x)$ 是$f(x)$ 的$A$ 倍压缩。
• 如果 $A<0$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 关于 $x$ 轴的反射。

垂直平移

令 $f(x)=|x|$ 且 $g(x)=f(x)+b$。一定存在一个 $\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0},y_{0}-b\right)\in g(x)$。因此，

• 如果 $b>0$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向上平移了 $b$。
• 如果 $b<0$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向下平移了 $b$。

水平平移

令 $f(x)=|x|$ 且 $g(x)=f(x+a)$。一定存在一个 $\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0}-a,y_{0}\right)\in g(x)$。因此，

• 如果 $a>0$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向左平移 $a$ 个单位。
• 如果 $a<0$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向右平移 $a$ 个单位。

以上未列出的性质是本章函数通用规则的例外 函数代数。这些例外并不重要。我们之前普遍发现的内容与我们上面提供的内容之间的唯一区别仅仅是我们之前部分中发现的内容的结果。

• 由于函数是偶函数且对称，所以没有关于 $y$ 轴的反射。
• 没有水平伸缩和压缩，因为它们会产生与垂直伸缩和压缩相同的结果（稍后会证明这一点）。

我们现在拥有了关于绝对值函数所需的所有信息。

绝对值函数的图像

本小节绝对不是可选的。你会被明确地问到这些问题，所以理解本节内容是一个好主意。如果你没有阅读上一小节，你就不会理解这些内容的意义。

幸运的是，绘制任意函数的基本思想主要取决于你对函数的了解。因此，我们可以轻松地绘制函数。这些例子应该进一步证实你在 函数代数 中学到的内容。

示例 1.2(a)：绘制以下绝对值函数的图像$f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5$ 方法 1：遵循函数代数中的步骤 此方法适用于任何任意函数。然而，对于绝对值函数来说，它并不总是最快的办法。我们遵循以下步骤。设 $f(x)$ 为母函数，而 $g(x)=Af(ax+b)+c$。 将 $ax+b$ 因式分解，使得 $ax+b=a\left(x+{\frac {b}{a}}\right)$。 将 $f(x)$ 向左/右平移 ${\frac {b}{a}}$ 个单位。 水平压缩/扩展$f\left(x-{\frac {b}{a}}\right)$ 倍$a$. 垂直扩展/压缩/翻转$f\left(a\left(x-{\frac {b}{a}}\right)\right)$ 倍$A$. 垂直移动$Af\left(a\left(x-{\frac {b}{a}}\right)\right)$ 向上/向下$c$ 个单位。 由于$f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5$ 有$A={\frac {1}{2}}$，$a=2$，$b=6$ 以及 $c=-5$，我们可以按照这些步骤得到我们想要的结果。因为这应该是一个复习，我们不会仔细地绘制每个步骤。因此，只显示最终函数（和红色母函数）。 方法 3：找到绝对最小值或最大值，绘制一半，反射。 虽然方法 1 对任何任意连续函数都有效，但方法 3 对于构成线性函数的绝对值函数来说是最快的。 首先，我们应该尝试找到顶点。我们从函数代数知道，唯一影响偶函数顶点位置的是$x-a$ 项和整个函数的垂直移动，$c$。 将绝对值方程改写成如下形式，将使我们能够找到函数的顶点。 $f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5={\frac {1}{2}}|2(x+3)|-5$ 然后告诉我们顶点在$(-3,-5)$。 然后，这种方法告诉我们绘制斜率。但是，这应该如何运作呢？回顾任意绝对值函数的正式定义 $|g(x)|={\begin{cases}-g(x)&{\text{if}}&x<x_{0}\\g(x)&{\text{if}}&x\geq x_{0}\end{cases}}$ 在上面一般绝对值函数的定义中，$g(x_{0})=-g(x_{0})=0$。这意味着当$x$值对应函数的顶点时，这就是我们限制绝对值函数的方式。 在我们的例子中，$|g(x)|=|2x+6|$，其中$2(-3)+6=0$，所以$x_{0}=-3$。因此我们可以说， :$|2x+6|={\begin{cases}-2x-6&{\text{if}}&x<3\\2x+6&{\text{if}}&x\geq 3\end{cases}}$ 待续。

练习题

答对加分
答错扣分
忽略问题的系数

对于下面所有给出的问题，$a=-2$ 且 $b=3$。建议大家完成下面所有问题
计算下列表达式的值。

1

$|a|=$

2

$|b|=$

3

$-|a|=$

4

$-|b|=$

5

${\frac {1}{a}}\cdot |b|=$

6

$a\cdot |b|=$

7

$|a-b|=$

8

$|a+b|=$

9

$b-|a|=$

10

$a-|b|=$

11

$\left\vert {\frac {b}{a}}\right\vert =$

12

$b\cdot |a|=$

绝对值性质

13 令 $y=f(x)=|x|$. 下面列出了以下性质。选择最符合性质描述或如何证明所列性质的定义。

偶函数	非满射	垂直平移	水平平移
				$\exists b\in \mathbb {R}$ 使得 $f(x)\neq b$.
				$f(x)$ 的值域是 $\{y|y\in \mathbb {R} \wedge y\geq 0\}$.
				$f(x)=f(-x)$.
				如果 $b<0\Leftrightarrow f(x)\neq b$，那么 $y_{p}=f(x)+b\Rightarrow \{y_{p}\vert y_{p}\in \mathbb {R} \wedge y_{p}\geq b\}$.
				$\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0}-a,y_{0}\right)\in f(x+a)$.
				$f(x)$ 是多对一函数。

绝对值方程

现在，假设我们给出了方程 $\left\vert k\right\vert =8$，并要求我们解出 $k$。哪个数字可以满足方程 $\left\vert k\right\vert =8$？ 8 可以，-8 也可以。这就是为什么一个方程可以有两个解的原因。这是为什么呢？ 下一个例子将解释这一点。

例 2.0(a)：正式定义以下函数$f(k)=|2k+6|$ 回顾绝对值的含义：它表示该数字到起始点（内函数为零的点）的左侧或右侧的距离。回忆绝对值函数的正式定义 $f(x)=|x|={\begin{cases}-x{\text{ if }}x<0\\x{\text{ if }}x\geq 0\end{cases}}$ 我们想要正式定义函数 $f(k)=|2k+6|$。令 $x=k$ 首先，我们需要找到 $2k+6=0$ 的位置。 $2k+6=0$ $\Leftrightarrow 2k=-6$ $\Leftrightarrow k=-3$ 由此可以确定以下结论是正确的 $f(k)=|2k+6|={\begin{cases}-(2k+6){\text{ if }}k<-3\\2k+6{\text{ if }}k\geq 3\end{cases}}$

了解如何进行此操作非常重要，这样我们就可以在本节中正式应用算法。目前，我们将探索基于给定示例解决这些函数的方法，包括正式化算法，我们将在后面提供。

例 2.0(b)：解出 $k$$|2k+6|=8$ 由于我们在例 0中正式定义了该函数，因此我们将把该定义写下来。 $f(k)=|2k+6|={\begin{cases}-(2k+6){\text{ if }}k<-3\\2k+6{\text{ if }}k\geq -3\end{cases}}$ 重要的是要理解方程的含义：“存在一个函数 $y=f(k)$ 等于 $y=8$ 使得 $\exists k\in \mathbb {R}$。”正如引言中定义的那样，以下函数是非单射且非满射的。因此，必须存在一个 $k_{1}{\text{ and }}k_{2}$ 使得它满足 $f(k)=8$。因此，以下必须成立 $2k+6=8\quad {\text{AND}}\quad -(2k+6)=8$. 剩下的就是对每个给定情况的 $k$ 求解这两个方程，这些方程将根据其正负情况进行区分 负数情况 $-(2k+6)=8$ $\Leftrightarrow 2k+6=-8$ $\Leftrightarrow 2k=-14$ $\Leftrightarrow k=-7$ 正数情况 $2k+6=8$ $\Leftrightarrow 2k=2$ $\Leftrightarrow k=1$ 我们找到了 $k$ 的两个解 $k=-7,1\blacksquare$

上面的例子展示了一种算法，这种算法通常在高中和许多大学中教授，因为它适用于每个绝对值方程。现在将说明该算法的步骤。 给定 $|g(x)|+c=f(x)$

1. 将绝对值函数隔离，使其等于另一个函数，或 $|g(x)|=f(x)-c$.
2. 写出方程，以便将复合函数解成两个这样的情况。 给定 $|g(x)|=f(x)-c$,

• 解出 $g(x)=f(x)-c$ 和
• 解出 $g(x)=-(f(x)-c)$.

解这些绝对值方程的基本原则是需要将绝对值单独保留。对于大多数人来说，这已经足够理解了，但这种说法对一些学生来说可能有点模糊。因此，这里可能需要很多练习题。我们将把所有步骤应用于上面概述的算法，而不是通过正式求解这些方程的过程，因为示例 1旨在表明该算法是正确的。

示例 2.0(c): 解出 $k$$3|2k+6|=12$ 我们将向您展示两种求解此方程的方法。第一种是标准方法，第二种将向您展示一些通常不教的内容。 标准方法：用其倒数乘以常数倍数。 我们必须将两边都除以 $3$，以便将绝对值单独保留。我们将使用与第一个示例中类似的推理设置两个不同的方程 $2k+6=4\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-4$. 然后，我们将通过从两边减去 6 并将两边除以 2 来解出，以便将 $k$ 单独保留，得到 $k=-5,-1$. 我们将把求解部分留给读者作为练习。 另一种方法：“分配”三到绝对值中。 请密切注意此处列出的步骤和推理，因为这种方法可行的原因与使用这种技巧的人一样重要，如果不是更重要的话。让我们首先概括一下问题。设有一个正非零常数倍数 $c$ 乘以绝对值方程 $|2k+6|$ $c\cdot |2k+6|=|c|\cdot |2k+6|\quad {\text{OR}}\quad c\cdot |2k+6|=|-c|\cdot |2k+6|$. 假设这两个式子都成立。如果两个式子都成立，那么你就可以将正常数 $c$ 分配到绝对值符号内。否则，这种方法就是错误的！ ${\begin{aligned}|c|\cdot |2k+6|&=|c(2k+6)|&\qquad |-c|\cdot |2k+6|&=|-c(2k+6)|\\&=|2ck+6c|&\qquad &=|-2ck-6c|=|-(2ck+6c)|\\&=|1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}&\qquad &=|-1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}\end{aligned}}$ 注意这两个方程式用红色突出显示的答案相同，这意味着只要常数倍数 $c$ 的值是正的，你就可以将 $c$ 分配到绝对值符号内。然而，这种“分配律”需要一个前提：两个绝对值的乘积等于乘积的绝对值。我们需要先证明这一点，才能在证明中使用它。对于发现这个错误的学生来说，你可能拥有良好的逻辑思维能力，或者对细节有敏锐的观察力。 证明$|b|\cdot |c|=|bc|$ 从我们已知的内容开始 $|x|={\begin{cases}x,&{\text{if}}&x\geq 0\\-x,&{\text{if}}&x<0\end{cases}}$ 如果 $a<0$，那么 $|a|=-a\geq 0$。否则，如果 $a\geq 0$，那么 $|a|\geq 0$. 令 $b,c\in \mathbb {R}$，$|b|=B$，$|c|=C$，并且 $b\cdot c=m$。以下三种情况适用 $bc=m<0\Rightarrow |m|=-m>0$。这仅仅意味着对于一些乘积 $bc$ 等于一个负数 $m$，该乘积的绝对值为 $-m$，即该乘积到零的距离。因为 $m<0$，将两边乘以 $-1$ 将会把小于号变成大于号，或者 $m<0\Leftrightarrow -m>0$。 $bc=m=0\Rightarrow |m|=m=0$。对于一些乘积 $bc$ 等于一个数 $m=0$，该乘积的绝对值为 $0$。 $bc=m>0\Rightarrow |m|=m>0$。对于一些乘积 $bc$ 等于一个正数 $m$，该乘积的绝对值为 $m$。 鉴于 $|bc|=|m|$ 总是会得到一个正数（和零），我们可以得出结论，该函数等价于以下函数 $|b\cdot c|=|m|={\begin{cases}m,&{\text{if }}m\geq 0\\-m,&{\text{if }}m<0\end{cases}}$ 令 $|b|\cdot |c|=B\cdot C=n$。因为 $|b|=B>0$ 且 $|c|=C>0$，$B\cdot C=n>0$。这意味着 $n=|n|$。因此，$|b|\cdot |c|=|n|$。这使我们得出结论： $|b|\cdot |c|=n=|n|={\begin{cases}n,&{\text{if }}n\geq 0\\-n,&{\text{if }}n<0\end{cases}}$ $|bc|=|m|$ 意味着 $bc\geq 0\vee bc<0$。但是，$|b|\cdot |c|=n$ 其中 $n=|n|$。我们已经证明了 $\forall b,c\in \mathbb {R}$，我们总是会看到 $|bc|>0$ 并且 $|b|\cdot |c|>0$。此外，我们已经知道 $|x|>0$，这意味着即使 $x<0$，$|x|>0$。因此，$|m|=n=|n|$. 因此，$\forall b,c\in \mathbb {R}$，$|b|\cdot |c|=|bc|\blacksquare$. 这个证明的一个好处是我们可以用它来推断任何函数乘以另一个函数的结果将是绝对值内函数的乘积。我们只需要假设它等于某个其他函数，而不是某个其他数字，正如这个证明中隐含的那样。唯一需要做的改变就是简单地将所有变量定义为函数。 通过确认一般情况，我们可以在再次遇到这种技巧时使用它。让我们将此属性应用于原始问题（这给了我们下面绿色的结果） $3|2k+6|={\color {green}|6k+18|=12}$ 这都意味着 $6k+18=12\quad {\text{OR}}\quad 6k+18=-12$. 从那里，简单的代数运算将表明原始问题的答案再次是 $k=-5,-1$.

让我们稍微改变一下前面的问题，使常数倍数变为负数。在不改变其他内容的情况下，结果会是什么？让我们来看看。

例 2.0(d)：解出 $k$$-4|2k+6|=8$ 我们将尝试用两种不同的方法解决这个问题：标准方法和其他方法，我们将在后面解释。 标准方法：用其倒数乘以常数倍数。 像前一个问题一样进行除法，所以方程将变成这样：$|2k+6|=-2$。回忆一下绝对值代表什么：它是一个数字到起点零的距离，无论是在左边还是右边。通过这一点，你注意到什么奇怪的东西了吗？当你计算绝对值时，你总是会得到一个正数，因为距离必须始终为正数。因为这意味着逻辑上不可能的情况，所以存在没有真实解。请注意，我们明确地提到了“真实”解。这是因为我们确信实数集 $\mathbb {R}$ 中不存在解。然而，可能存在一些集合，它们对这种类型的方程有解。由于这种可能性，我们需要在数学上严格并明确地说明“没有实数解”。 其他方法：“分布”绝对值中的常数倍数。 在这里，我们注意到常数倍数 $c<0$。问题是，不存在这样的 $g$，使得 $|g|<0$。这种情况只有在 $-|g|<0$ 时才成立，因为 $-|g|<0\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|g|>0$ 利用这个性质，我们只能将常数倍数分布为 $|c|$，并在绝对值之外乘以负 $-1$ 作为因子。因此， $-4|2k+6|=-|8k+24|=8\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|8k+24|=-8$ 似乎其他方法让我们将一个常数乘以它的逆数，分别作用于等式两边。无论哪种方式，这种“其他方法”仍然给了我们相同的答案：没有实数解。

这次的问题会有点不同。请记住我们一直在所有示例中牢记的原则，并且要小心，因为这个问题设置了一个陷阱。

例 2.0(e)：解出 $x$$|3x-3|-3=2x-10$ 有很多方法可以尝试找到这个问题的解。我们将用标准方法来做，并允许任何学生以他们想要的方式来做。 $|3x-3|-3=2x-10\qquad {\text{Add the }}3{\text{ to both sides.}}$ $|3x-3|=2x-7$ 由于绝对值已被隔离，我们可以从通用步骤开始。假设 $2x-7>0$，我们可以开始列出这两个方程 (1) $3x-3=2x-7$ (2) $3x-3=-(2x-7)$ 这些方程仅在 $2x-7>0$ 时才成立。现在，假设此条件为真。让我们求解每个方程的 $x$ 方程 (1) $3x-3=2x-7\qquad {\text{Add }}3{\text{ and subtract }}2x{\text{ on both sides.}}$ $x=-4$ 方程 (2) $3x-3=-(2x-7)\qquad {\text{Distribute }}-1{\text{.}}$ $3x-3=-2x+7\qquad \quad {\text{Add }}3{\text{ and add }}2x{\text{ on both sides.}}$ $5x=10\qquad \qquad \qquad \quad {\text{Divide }}5{\text{ on both sides.}}$ $x=2$ 我们得到了方程的两个潜在解。尝试根据你目前对这个问题的了解，回答为什么我们说它们是潜在的。 为什么我们说我们有两个潜在解？ 因为我们必须假设 $2x-7>0$ 且 $|3x-3|=2x-7$ 对给定的 $x$ 成立。 因此，我们必须验证这些方程的解是否存在。所以，让我们将这些值代入方程 $|3(-4)-3|=2(-4)-7$. 注意到等式右边是负数。同时，等式左边和右边并不相等。因此，这不是一个解。 $|3(2)-3|=2(2)-7$. 注意到等式右边仍然是负数。同时，等式左边和右边并不相等。因此，这也不能是一个解。 这个方程有 **没有实数解**。更具体地说，它有 **两个无关解**（也就是说，我们找到的解在将它们代回原方程后无法满足等式性质）。

尽管我们按照从第一个问题开始的步骤进行，我们还是得到了两个无关解。这不是步骤本身的错误，而是方程本身的一个简单结果。因为等式左边必须始终为正数，所以这意味着等式右边也必须为正数。除此之外还有一个限制条件，那就是两边在只给出正值的情况下可能不相等。这完全是关于函数性质的问题。

**示例 2.0(f)**：求解 $a$$6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|$ 这里需要用到我们学过的一切性质，所以希望你没有跳过任何东西。如果我们知道我们将在这个问题中使用的性质，这将使我们的生活更容易。 $6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|\qquad {\text{Distribute, so to speak, the constant terms.}}$ $\left\vert 5a+{\frac {1}{2}}\right\vert =|9a+9|$ 看第二个方程可能是第一个发现荒谬之处。然而，应用绝对值的根本性质就足以解决这个问题。 (3) $5a+{\frac {1}{2}}=|9a+9|$ (4) $5a+{\frac {1}{2}}=-|9a+9|$ 一次剥开一层问题。对于这个问题，我们将根据方程的来源对它们进行分类；这应该可以解释破折号：3-1 是从 (3) 中推导出来的第一个方程，例如。 (3-1) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (3-2) $9a+9=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ (4-1) $-(9a+9)=5a+{\frac {1}{2}}$ (4-2) $-(9a+9)=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ 我们可以证明一些方程是等价的。例如，(3-1) 和 (4-2) 是等价的，因为将 (4-2) 两边除以 $-1$ 可以得到 (3-1)。此外，(3-2) 和 (4-2) 是等价的（将方程 (4-2) 两边乘以 $-1$）。在确定所有等价的方程后，将 $-1$ 分配到相应的括号中。 (5) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (6) $9a+9=-5a-{\frac {1}{2}}$ 现在剩下的就是解方程。我们将此步骤留作读者的练习。有两个可能的解：$a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}$。剩下的就是验证当看这些特定的 $a$ 值时，问题中的方程是否成立。 $a=-{\frac {19}{28}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {19}{28}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {19}{28}}\right)+9\right\vert$ 为真。两边得到相同的值：${\frac {81}{8}}=10.125$。 $a=-{\frac {17}{8}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {17}{8}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {17}{8}}\right)+9\right\vert$ 为真。两边得到相同的值：${\frac {81}{28}}\approx 2.893$。 因为两个解都是真，所以这两个解是 $a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}\blacksquare$。

绝对值方程在现实世界中非常有用，通常用于建模。我们将介绍一个标准建模问题的示例，然后介绍一个在几何学中的不寻常应用（示例 WIP）。

示例 2.0(g)：窗户安装 问题：阿尔弗德想要安装一个窗户，使窗户的长度变化为房间长度的 70%。房间高 45 英尺，长 70 英尺。如果居中的窗户占据了整个墙壁的垂直高度 (a) 不包括窗户的墙壁最大表面积是多少？ (b) 假设房间有一个矩形的$\displaystyle 70\times 30$ 底部和屋顶，并且这种窗户设计重复房间的所有侧面（除了两个门侧），那么房间内部不包括窗格的表面积是多少？ 答案: (a) $\displaystyle 945{\text{ ft}}^{2}$ (b) $\displaystyle 13,440{\text{ ft}}^{2}$ 解释: 这道题最难的部分是试图理解情况。一旦学生理解了所提出的问题，其余步骤大部分都很简单。 我们将使用用于解决许多线性方程文字题的程序，因为它可以帮助我们将大量信息压缩成更“小块”的东西。 列出有用信息（可选第二步，或必要的第一步）。 画图（可选第二步，或必要的第一步）。 根据列表查找解决问题的工具。 建立并求解方程。 图 3：对于一个$\displaystyle 70\times 45{\text{ ft}}^{2}$ 的墙壁，如果窗户的长度是房间长度的 70%，那么不包括窗户的墙壁的最大面积是多少？ 我们将使用这些步骤来完成项目 (a) 和 (b)。 首先，我们将列出如下信息 窗户的长度变化为房间长度的 70%。 房间高 45 英尺。 房间长 70 英尺。 窗户占据了整个墙壁的垂直高度。 窗户根据墙壁的长度居中（由前一项确定）。 房间有一个矩形的底部$\displaystyle 75\times 35{\text{ ft}}^{2}$ 接下来，根据我们的列表绘制情况。一个好的草图（图 3）可以告诉你比列表更多信息。因此，如果你列出了问题中提供的信息，则此步骤可能是可选的。这就是为什么如果你列出了问题中提供的信息，则此步骤可能是可选的。 从我们的草图（解决问题的工具）中，我们可以得出求解$x$，墙壁的边长，的方程。因为绝对值描述了距离（或长度），而我们希望长度是房间长度的 70%，所以我们可以得出这样的结论 $\displaystyle |70-2x|={\frac {7}{10}}\cdot 70=49$ 由此，我们可以解出方程。 $\displaystyle {\begin{aligned}70-2x&=49&70-2x&=-49&{\text{原始方程}}\\-2x&=-21&-2x&=-119&{\text{等式减法性质}}\\x&={\frac {21}{2}}=10.5{\text{ ft}}&x&={\frac {119}{2}}=59.5{\text{ ft}}&{\text{等式除法性质}}\end{aligned}}$ 在我们的情况下，考虑$\displaystyle x=59.5$ 没有意义，因为它会导致窗户的负长度，所以我们拒绝$\displaystyle x=59.5$。在处理文字题时，始终要牢记上下文。 此信息对于项目 (b) 非常有用。对于 (a) 部分，它要求我们找到不包括窗户的墙壁侧面的面积。这告诉我们墙壁的面积，根据我们的草图，是 $\displaystyle xh+xh=2xh=2\cdot \left({\frac {21}{2}}\right)\cdot 45=945{\text{ ft}}^{2}$ $\displaystyle \blacksquare$ 项目 (b) 给出了以下信息，以及我们在 (a) 中找到的信息 矩形 $\displaystyle 75\times 35$ 底座和屋顶。 无窗的墙壁是 $\displaystyle A=945{\text{ ft}}^{2}$. 两侧没有窗户，这意味着墙壁的表面积是 $\displaystyle A=45\times 70=3,150{\text{ ft}}^{2}$ 不会为项目 (b) 提供草图。在所有信息都已清除的情况下，我们可以轻松找到不包含所有窗户的表面积。 $\displaystyle S=2\cdot \left(75\times 35{\text{ ft}}^{2}\right)+2\cdot \left(945{\text{ ft}}^{2}\right)+2\cdot 3,150{\text{ ft}}^{2}=13,440{\text{ ft}}^{2}$ $\displaystyle \blacksquare$

下一个问题通常需要一些三角学才能轻松解决。但是，如果有一个额外的信息，就可以使用绝对值属性来解决以下问题。

示例 2.0(h)：铺设屋顶（改编自 三角学书籍 1） 图 2：屋顶的平面图如上图所示。我们想仅使用所给的图形来找到图形的面积，而绝对不使用三角学。 一位工程师计划建造一个屋顶，其 $\displaystyle 30$ m. 的框架底座和 $\displaystyle 100$ m. 的周长。屋顶坡度与底座的夹角为 $\displaystyle \theta$。斜面是全等的。提供了斜屋顶的参考图像（图 2）（没有笛卡尔平面）。已知三角形的面积是 $\displaystyle {\frac {1}{2}}bh$，距离公式是 $\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$，求屋顶三角形横截面的面积。 答案 $A=474.342{\text{ m}}^{2}$ 图 3 解释 以下问题要求您思考什么是不会改变的，以便成功确定哪种情况可以让以下所有情况都成为可能。在讨论这个稍微违反我们的算法的问题中的一个区别之前，我们将首先将我们的问题解决步骤应用到这个问题上。我们将首先绘制它。 绘制 我们可以从图 3 中获得大量信息。 $a>0$ $b>0$ $c<0$ $f(x)=-a|x|$；具体来说，$f(b)=-a|b|=c$ 和 $f(b)=-a|-b|=c$. $d={\sqrt {15^{2}+\left(f(b)\right)^{2}}}$ $b=15$，因为根据上述距离公式，$\Delta x=15$ 对于 $d$。 $a,b,c$ 的值是常数。高度 $h=c$ 是常数，底边长度也是常数，因此 $a,b$ 也是常数。 工具查找 我们的图纸帮助我们获得了大量信息。已知周长为 $100{\text{ m}}$，这意味着距离是 ${\begin{aligned}2d+30&=100\\2d&=70\\d&=35{\text{ m}}\end{aligned}}$ 然而，图 3 告诉我们 $d={\sqrt {15^{2}+\left(f(b)\right)^{2}}}$。因此，根据传递性， ${\begin{aligned}{\sqrt {15^{2}+\left(a|b|\right)^{2}}}&=35\\15^{2}+a^{2}b^{2}&=35^{2}&|b|=b{\text{ and }}(ab)^{2}=a^{2}b^{2}\\15^{2}\left(1+a^{2}\right)&=35^{2}&b=15{\text{ and distributive property.}}\\1+a^{2}&={\frac {49}{9}}&{\text{Division property of equality.}}\\a&={\sqrt {\frac {40}{9}}}&{\text{Subtraction and exponent property of equality.}}\end{aligned}}$ 在了解垂直收缩后，我们可以确定三角形的高度。然后，我们可以计算面积。 $h=c=15{\sqrt {\frac {40}{9}}}\approx 31.623{\text{ m}}$ 因此，三角形的面积为： $A={\frac {1}{2}}\cdot 15\cdot 15{\sqrt {\frac {40}{9}}}\approx 474.342{\text{ m}}^{2}\blacksquare$

注意我们不需要求解关于$x$ 的特定值，因为这是绝对值方程。对于这个问题，绝对值方程的唯一必要方面是图形属性和一些逻辑。从某种程度上来说，这是最简单的绝对值问题。然而，它所需的创造性弥补了问题的“简单性”。

练习题

1 $|k+6|=2k$

$k=$

2 $|7+3a|=11-a$

$a\in \{$ , $\}$

3 $|2k+6|+6=0$

有多少个解？

绝对值不等式

需要注意的是，任何函数都可以小于任何其他函数。例如，$2x-5<54-13x$ 对于 $x<{\frac {59}{13}}=3+{\frac {14}{15}}$ 具有任何解。只要 $x$ 的值在这个范围内，函数 $2x-5$ 小于 $54-13x$ 的输出。$f(x)=|x|$ 的不等式代数需要更多的演示才能理解。虽然我们使用的这些方法不会被证明，但我们的例子和解释应该能很好地直观地理解绝对值不等式的求解方法。

示例 3.0(a): $|10-20x|<50$ 首先，让我们使用上一节中演示的方法来简化以下表达式（将绝对值内部的表达式进行因式分解，并将常数项移出）。请记住，由于我们正在改变查看方程的 sides，50 现在位于左侧而不是右侧，我们还必须“翻转”不等式以与原始方程保持一致。 ${\begin{aligned}50&>|10-20x|\\&>|10\cdot (1-2x)|\\&>10\cdot |1-2x|\end{aligned}}$ 从这里开始，应该很容易看出 $|1-2x|<5$ 让我们进一步分析这种情况。 上述等式表示 $y=|1-2x|$ 小于函数 $y=5$。 我们需要确保内部值小于五。 因为绝对值描述了距离，所以函数有两个现实。 设 $A(x)=|1-2x|$ $A(x)=|x|={\begin{cases}1-2x,&{\text{if}}&x\geq {\frac {1}{2}}\\-(1-2x),&{\text{if}}&x<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ 因为函数 $A(x)$ 有两部分， 我们希望每部分都小于 5， $1-2x<5$ 以及 $-(1-2x)<5$ 我们将在下一个示例中演示更常见的程序。 现在，这种直觉应该开始形成代数分析的想法。 我们将先解决左侧，然后解决右侧的情况。 求解 $x$ 在 $|1-2x|<5$ 中。 左侧情况: $1-2x<5$ 回想一下，将两边乘以负因子需要我们“翻转”不等式。 因此，求解 $x$ $\Leftrightarrow x>-2$ 右侧情况: $-(1-2x)<5$ $\Leftrightarrow 1-2x>-5$ $\Leftrightarrow x<3$ 我们发现了一种可能的数值分布，使得以下方程成立，其中 $|2x-5|<5$，并且对于 $x$ 在 $-2$ 和 $3$ 之间（不包含端点）的数值范围内。

以上示例是对求解不等式原理的一种直观解释。从技术角度来说，我们可以证明为什么我们必须以这种方式对绝对值不等式进行“操作”（执行上述步骤）。然而，这会过于技术化，并涉及大量的泛化，可能会使学生感到困惑，而不是启发。如果学生认为挑战值得，那么他们可以尝试证明我们推导出的步骤。这被认为是标准程序（根据许多高中教材）。

1. 简化，直到只留下“绝对值符号内的表达式”。
2. 通过取绝对值符号内的表达式，并根据不等式关系，得到“左侧”的值；对于“右侧”方程，取绝对值符号内的相同表达式，将相关项取反并翻转不等式符号，然后求解。
3. 将 $x$ 重写为必要的符号形式。

虽然该过程可能看起来很复杂，但实际上我们只是试图尽可能地将算法具体化。实际上，我们将展示将此算法应用于上述问题的简易性。

例 3.0(a) (重复): $|10-20x|<50$ 让我们直接跳到最简化的形式。 $|1-2x|<5$ 现在让我们应用上述算法。 $1-2x<5$ 和 $1-2x>-5$（注意，对于右侧方程，我们取反并翻转不等式符号）。 然后，我们将求解。 求解 $x$ 在 $|1-2x|<5$ 中。 左侧情况: $1-2x<5$ 回想一下，将两边乘以负因子需要我们“翻转”不等式。 因此，求解 $x$ $\Leftrightarrow x>-2$ 右侧情况: $1-2x>-5$ $\Leftrightarrow x<3$

该过程存在两个可能的原因。首先，它使我们能够快速求解“右侧”方程中的 $x$，而无需进行求解 $x$ 所需的两倍的乘法次数（减少了我们翻转不等式符号的次数）。其次，它使我们能够更多地关注绝对值方程背后的概念（符号内的值将为正，因此，我们希望找到所有能够找到所有可能解的值）。

不过，请记住我们是通过应用绝对值的函数定义来找到该过程的。实际上，我们对绝对值方程做了完全相同的事情。该算法在应用于不等式时的唯一区别在于，不等式通过引入一个新的概念来“复杂化”非单射绝对值函数。通过找到两个解，我们为 $x$ 的值提供了两个可能的范围。

希望这个例子能够进一步阐明许多高中生认为在求解绝对值不等式和等式时是“黑魔法”的部分。接下来的例子应该只会希望进一步巩固所学概念。请记住，如果有人不喜欢上面重复示例中介绍的算法，他们完全可以使用其他算法。多选的优点是可以使用任何方法，只有答案的正确性会被考虑。

例 3.0(b): $15x-|12x+10|>13x$ 解释稍后给出

例 3.0(c): $\left\vert {\frac {5}{12}}x-87\right\vert \leq 100$ 解释稍后给出

例 3.0(d): $15x-|12x+10|>13x$ 解释稍后给出

示例介绍稍后给出。

例 3.0(e): 可变温度问题 问题：在没有空调的情况下，房间的夏季平均温度约为$21^{\circ }{\text{C}}$。 温度变化取决于周围环境的温度条件。 没有空调，温度与平均值的最高变化是$4^{\circ }{\text{C}}$。 当空调打开时，房间的温度是时间的函数$t$（以小时为单位），由$C(t)=-{\frac {3}{2}}t+20$给出。 温度的最大偏差不应超过$5^{\circ }{\text{C}}$。 (a) 写出分别表示房间在没有空调和有空调的情况下温度的方程式。 (b) 确定夏季房间没有空调的最低温度值。 (c) 空调必须在什么时间停止运行，才能使温度最多下降$5^{\circ }{\text{C}}$？ 答案: (a) $|T-20|\leq 4$ 以及 $\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$。 (b) $T_{min}=16^{\circ }{\text{C}}$。 (c) $3{\tfrac {1}{3}}$ 小时。 解释：在处理文字问题时，最好将问题改写为代数或“图示”形式（即画出问题）。 你也可以同时使用这两种方法，正如我们很快就会做的那样。 温度变化情况 画出情况的图片（更准确地说是草图）的好处是能够更容易地解释情况。 毕竟，我们都是视觉型的人，所以看图片比看文字更容易理解。 几何的直观性也有利于代数解释。 让我们重新阅读没有空调的情况。 "没有空调，温度与平均值的最高变化是$4^{\circ }{\text{C}}$。" 这给了我们很多信息。 我们知道$T_{\text{max}}=T_{\text{avg}}+4$ 以及 $T_{\text{min}}=T_{\text{avg}}-4$，因此为了将其保留为一个单独的方程式，最好将其写成绝对值方程式。 对于这种情况， (8) $|T-20|\leq 4$ 了解为什么这是真的非常重要。回想一下绝对值表示内部值的距离。如果$0$是参考点，那么为了从$20$得到$0$，你需要从当前值$T$中减去20。因此，这个等式是正确的。现在让我们看看空调的情况。 “当空调开启时，房间的温度是一个以时间为自变量的函数，由$C(t)=-{\frac {3}{2}}t+20$给出。温度的最大偏差应该不超过$5^{\circ }{\text{C}}$。” 根据句子的措辞，温度$T=C(t)$是基于时间的，温度最多只能比平均温度高$5^{\circ }{\text{C}}$。根据与等式（8）相同的逻辑， (9) $|C(t)-20|\leq 5$ 等式（9）保持相同形式，以显示这两个等式的相似性，并与设置文本的措辞更加相关。使用传递性，可以进一步简化等式以得到 (10) $\left\vert -{\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$ 回想一下$|(-1)x|=1\cdot |x|$，其中$c=-1$。由于这个性质，可以进一步简化等式以得到部分（a）的最终等式 (11) $\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$ 这充分回答了项目（a），这可能是问题中最难的部分。但是，有了得到的两个等式，（8）和（11），我们可以回答项目（b）和（c）。让我们用我们对问题的理解重新阅读部分（b）和（c） “确定夏季没有空调时房间的最低温度值。” 本质上，这是要求考生使用（8）找到$T_{\text{min}}$的值。之前的例子应该已经帮助你准备了解决绝对值不等式。 在$|T-20|\leq 4$中求解$T$。 正数情况: $T-20\leq 4$ $\Leftrightarrow T\leq 24$ 负数情况: $T-20\geq -5$ $\Leftrightarrow T\geq 16$ 由于问题要求的是环境温度房间的最小温度值，$T_{min}$，这里正确的答案是$T_{min}=16^{\circ }{\text{C}}$。请记住，由于问题的措辞（“最多”意味着小于或等于），我们可以在此处使用等号。另外，请始终记住在文字问题中添加单位。 “空调必须在什么时间停止，才能使温度下降最多$5^{\circ }{\text{C}}$？” 从本质上讲，这要求考生使用最简化的方程式，即方程式（10），找到时间$t$（以小时为单位）的值。 在$\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$中解出$t$。 正数情况: ${\frac {3}{2}}t\leq 5$ $\Leftrightarrow t\leq {\frac {10}{3}}$ 负数情况: ${\frac {3}{2}}t\geq -5$ $\Leftrightarrow t\geq -{\frac {10}{3}}$ 由于实际上只考虑正数情况（我们只关注时间$t\geq 0$），空调允许的最大时间是$t={\frac {10}{3}}=3{\tfrac {1}{3}}$小时。

课程回顾

绝对值（用 | 表示）表示数字在数轴上与 0 的距离。这实际上使负数变为正数，而正数保持不变。要解涉及绝对值的方程，必须将绝对值单独放在一边，并将其设置为另一边的正负值，因为这是绝对值可以输出的两个解。但是，请检查最后得到的解；有些可能在右侧产生负数，这是不可能的，因为绝对值符号的所有输出都是正数！

课程测验

计算每个表达式。

1

$|-4|=$

2

$|6-8|=$

解方程求 $a$ 的值。对于无解的方程，在两个输入框中或右侧输入框中输入 NS（区分大小写）。对于任何代入方程后不成立的**无意义解**，在右侧输入框中或两个输入框中输入 XS（区分大小写）。将解从小到大排列。

3 $|3a-4|=5$

$a\in \{$ $,$ $\}$

4 $5|2a+3|=15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

5 $3|4a-2|-12=-3$

$a\in \{$ $,$ $\}$

6 $|a+1|-18=a-15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

7 $2\left\vert {\frac {a}{2}}-1\right\vert -2a=-4a$

$a\in \{$ $,$ $\}$

阅读以下情景，然后回答所给的提示或问题。对于无解的方程，在两个输入框中或右侧输入框中输入 NS（区分大小写）。对于任何代入方程后不成立的无意义解，在右侧输入框中或两个输入框中输入 XS（区分大小写）。将解从小到大排列。

8 附近河流的水流速度与平均速度 $20{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$ 相差 $1.5{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。设 $s$ 代表河流的速度。选择**所有**可能描述该情景的方程。

	$|s-1.5|=20$
	$|s+1.5|=20$
	$|20-s|=1.5$
	$|s-20|=1.5$
	$|s+20|=1.5$
	$|1.5-s|=20$

9 一条水平人工河的平均速度为 $-4{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。速度与阻挡水流的岩石质量 $r$（以千克为单位）成正比。假设这条河当天速度最多偏离 $6{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果比例常数为 $k={\frac {2}{5}}$ 米每千克秒，当天河里的岩石最大质量是多少？

	$5$ 千克。
	$15$ 千克。
	$25$ 千克。
	$35$ 千克。