微积分/黎曼-达布克斯定义的建立

注意

这些讲座不是专门为一天、一小时或一周而设计的。如果你想深入学习其中的任何主题，我可以。我在这里提供一个指南，以及一些练习来确保你理解；但我想让你明白，最终的学习过程是由你引导的。

随意提出更多问题，或者你想更深入学习的地方。 Fephisto 2006 年 7 月 31 日 03:58 (UTC)

阅读

如果你愿意，可以阅读微积分/定积分中关于积分定义的部分，但我们只偷他们的图。

背景

积分最一般的完整定义不是黎曼-达布克斯定义。积分最一般的完整定义将允许我们在不一定是指数的集合上执行积分。完整定义还将包括我们从基本集合论过渡到群论，再到环论，最后到域论，并在此过程中定义各个角落、缝隙、引理和定理。因此，至少在最初，这里会有一些手势，偶尔我们可能需要回溯到一个重要的定理。

从集合论的角度来看，我们需要的主要概念是上确界、它的相反数（下确界）和分割。

上确界

上确界也称为最小上界。从概念上讲，我们将集合的上界视为集合中任何其他数都无法超过的数（但可以等于）。这样一来，集合 1-5 的上界可以是 5、5.1、6 或一百万。最小上界（顺便说一下，最小上界是唯一的，但就我们而言，我们不会证明）是既是上界又是最小上界的数。以这种方式，我们可以至少直观地说，集合 1-5 的最小上界确实是 5。

如果你是一个视觉学习者（我为我在这里缺乏艺术能力而道歉）

现在是最小上界的正式定义。

对于一个域$F$，一个数$b\in F$ 是集合$E\subseteq F$ 的最小上界，当且仅当

1) b 是 E 的上界，或者

对于所有$x\in E$，$x\leq b$。

并且

2) 如果 c 是 E 的任何上界

$b\leq c$

下确界类似地定义。

那么对于集合 A = {x | 1 $\leq$ x $\leq$ 5}，证明 5 是上确界。

分割

分割是域的“切分”部分，但不一定需要包含该域的所有元素。例如，在实数集中，我可以有我的 {1,2,3,4,5} 集合，这将是该集合的一个分割，类似地，我可以有 {1,1.1,1.2,1.3,....,4.9,5}。

更正式地说

[a,b] 的一个划分是一个点集 P={x₀,x₁,...x_n}，其中 $n\geq 1$ 并且 a=x₀ < x₁ < ... < x_n=b。此外，如果 P 和 Q 是域 F 的划分，并且 $P\subseteq Q$，那么 Q 是 P 的细化。

同样，在我们两个示例划分中，{1,1.1,1.2,1.3,....,4.9,5} 是 {1,2,3,4,5} 的细化。

函数的上确界/下确界

在构建定义时，我们需要对子区间（划分的子集）及其对函数的影响进行严格的定义。根据完备性公理（实际上不是公理，但我们将其视为公理，它指出实数系统的每个子集都有一个最小上界）。

一个小练习

现在，证明如果 $\mathbf {R} \supseteq F$ 并且 $F\supseteq E$，那么 $supE\leq supF$.

通过类似的证明，$infE\geq infF$，有了这两个引理，我们可以取 [a,b] 的划分 P 的子区间 [x_i-1,x_i]，如果函数 f: [a,b] $\rightarrow \mathbf {R}$ 有界，那么 f 在子区间上是有界的，这允许我们对每个 i=1,...,n 定义

M_i = f 在 [x_i-1,x_i] 上的上确界

并且

m_i = f 在 [x_i-1,x_i] 上的下确界

黎曼-达布积分

我们越来越接近了，我们终于可以定义黎曼-达布积分的上和与下和。这本质上是积分，但它缺少一个关键属性，这将在下一讲中介绍。

例如，关于我们在这里所做的概念，至少对于上和来说，在显示一堆符号之前，我们取一个划分的子区间，找到函数在该区间上的最高值，将其乘以子区间的长度，得到矩形，然后疯狂求和。下和类似，只是取函数的最低值。

这个想法类似于教科书中的图 5

但是让我们稍微重新格式化一下图像

现在，积分的通用定义（以防你的好奇心达到顶峰），选择函数在子区间上的随机值，这就是图 5 中显示的内容。

无论哪种方式，它都以其荣耀出现

U(P,f) = $\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

L(P,f) = $\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

现在，我将留给你一个关于上和与下和的小练习，但这并非本讲的结束。

求和练习

令 f: [0,1] $\rightarrow \mathbf {R}$ 为 f(x) = x，并且令 $n\in \mathbf {N}$ 形成一个均匀划分 P = {i/n | 0,...,n}，其中 i 从 1 到 n。显式地找到 U(P,f) 和 L(P,f)。

解

1.(n+m)/2n.

关于划分的更多细节：点细化

划分、其细化以及上和与下和之间存在非常密切的联系，这将导致积分。

现在，让我们考察一下划分细化及其上和与下和的一些性质。直观上，下和应该小于上和。此外，如果我们通过创建更精细的划分来减小区间，直观上我们应该有一个比以前更小的上和（因为我们没有高估上和），以及一个比以前更高的下和。

假设我们有一个区间 [a, b] 的分割 P，以及一个比 P 多一个点的细化分割 P'，其中 P' = P ∪ {z}。如果 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 是任何有界函数，那么根据我们的直觉，我们可以得出结论： $L(P,f)\leq L(P',f)\leq U(P',f)\leq U(P,f)$.

练习

我将把实际的证明留给你。以下内容可能会有所帮助（但如果你想完全发挥创意，那也很好）：

-分别处理包含点 z 的子区间，比较该点周围的和，并引用其他部分的相似性。

-注意到 $L(P,f)\leq L(P',f)$ 的证明类似于 $U(P,f)\leq U(P',f)$ 的证明。

-你可能需要引用之前在《函数的上确界/下确界_一个小练习》中证明的内容。

关于分割的主要想法是，它们只是区间集合的有序集合。

关于分割细化的更多内容：使用点细化

我们现在要概括一下刚刚证明的内容，上面证明的内容可以被认为是一个“弱命题”，而这个命题是一个“强命题”。事实上，不仅点细化具有这种性质，任何分割细化都具有这种性质！

因此，如果 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 是一个有界函数，并且 P 和 Q 是 [a, b] 的分割，其中 Q 是 P 的细化，那么

$L(P,f)\leq L(Q,f)\leq U(Q,f)\leq U(P,f)$

证明。对于 $r\in \mathbf {N}$，令 J(r)（为了简便起见，用英文表示）为“如果 Q - P 有 r 个元素，那么上面的命题成立”。我们将通过归纳法证明 J(r) 对所有 $r\in \mathbf {N}$ 成立。

基本情况 J(1) 是点细化证明练习。

对于归纳步骤，假设 J(r) 对 $r\in \mathbf {N}$ 成立。我们证明 J(r + 1)。假设 Q - P 有 r + 1 个元素。令 Q' 为分割，使得 Q' - P 有 r 个元素。根据归纳假设

$L(P,f)\leq L(Q',f)\leq U(Q',f)\leq U(P,f)$

并且由于 Q 是 Q' 的一点细化，根据练习证明，

$L(Q',f)\leq L(Q,f)\leq U(Q,f)\leq U(Q',f)$

通过这两个不等式，我们证明了

$L(P,f)\leq L(Q,f)\leq U(Q,f)\leq U(P,f)$

这就是我们要证明的结论。证毕。

上确界的另一个性质

至少在我的当地地区，我们称之为“上确界的逼近性质”。然而，当地的说法可能在其他地方有所不同，而且大多数时候都没有被提到，但它对于后面的可积性判据很重要。

如果我们有一个实数集的子集 $E\subset \mathbf {R}$ 并且 b = sup E，那么我们有以下定理

b 是 E 的上确界当且仅当对于任意 ε > 0，存在 $x\in E$ 使得 x > b - ε。

它具有类似于极限定义的性质。

我将证明双条件语句的逆命题

如果对于任意 ε > 0，存在 $x\in E$ 使得 x > b - ε，那么 b = sup E。

我们将用反证法证明，假设 $b\neq sup$，令 c 为 E 的任意上界，并假设 c < b，令 ε = b - c，那么通过一些代数运算，可得 x > c。然而，这不可能，因为 c 是 E 的上界，因此 $c\geq b$ 由三歧性定理，根据上确界的定义，可知 b = sup E。矛盾，归谬法得证。

近似性质证明练习

您来证明前向命题。可能对您有帮助的是，您可以用逆否命题证明，只需使用上确界的定义。

最后一个量

通过对划分和细化的讨论，我们可以展示最后一个定义

$L(f)=sup_{P}L(P,f)$

$U(f)=inf_{P}U(P,f)$

直观上，我们可以将它们理解为（对于第一个）产生最高下和值的划分，以及（对于第二个）产生最低上和值的划分。它们究竟是什么，我们暂时留作谜题。

求和练习重现

对于函数 f(x) = x 和 [0,1] 的等距划分 $P_{n}$，显式地求出 U(f) 和 L(f)。您注意到什么了吗？

额外内容

我有点搞乱了编号，因为我将要展示的证明，填补了讨论中证明的空缺，它的部分内容是阿基米德性质。无论如何，我们开始吧

令 $a,b,x\in \mathbf {R}$ 其中 a < b 且 x > 0，那么我们将证明，在区间 (a,b) 中存在 x 的有理数倍数（称之为讨论中证明中建议的元素 b）。

这里有很多东西需要建立，为了避免我们回溯太远，我希望您能直观地理解以下内容：自然数集合（1,2,3,...）在实数集合中没有上界，因此对于实数集合的任意元素 x，存在自然数集合中的元素 n 使得 n > x。作为一个练习，您可以用完备性公理来证明这一点（如果您尝试证明，并且想让我检查一下，请将标题命名为“次阿基米德证明”。如果您想尝试证明，我建议您使用上界的定义进行归谬法）。

阿基米德性质

对于每个实数 x > 0，存在 $n\in \mathbf {N}$ 使得 1/n < x。

根据我之前让您直观理解的定理（或者您已经证明的定理），对于任意 $x\in \mathbf {R}$，存在 $n\in \mathbf {N}$ 使得

n > 1/x （因为 1/x 也是一个实数）

通过简单的代数运算可得

x > 1/n

证毕。

回到实际证明

设$q\in \mathbf {N}$ 足够大，使得根据阿基米德性质，以下成立

1/q < (b-a)/x

由于自然数集没有上界，则以下集合 S 不为空

$S={n\in \mathbf {Z} |n\cdot {\frac {X}{Q}}\geq b}$

根据下界的定义，bq/x 是 S 的一个下界。然后根据良序原理（有下界的集合有一个最小元素），S 中存在一个最小的整数，记为 l，令 p = l - 1。那么，根据我们对 S 的设定，以及 l 是这个集合中最小的元素，可以得到$p!\in S$，因此$p\cdot {\frac {x}{q}}<b$。此外，根据我们对 q 的最初不等式

x/q + a < b

$b\leq l\cdot {\frac {x}{q}}$

根据传递性

$x/q+a<l\cdot {\frac {x}{q}}$

$a<l\cdot {\frac {x}{q}}-{\frac {x}{q}}$

$a<(l-1)\cdot {\frac {x}{q}}=p\cdot {\frac {x}{q}}$

因此，a < (p/q) x < b，并且由于 (p/q) x 是 x 的一个有理倍数，我们已经证明了 x 的一个有理倍数位于区间 (a,b) 中，这就是我们要证明的。

评论

这填补了 sup E > sup F 意味着存在一个元素 b，使得.....