微积分/复分析

复分析是研究复变量函数的学科。复分析是某些领域（例如电力工程等）中广泛使用且强大的工具。

在我们开始之前，您可能需要回顾一下 复数

复数

复数

复函数

复变量函数是能够取复数值（以及严格实数值）的函数。例如，假设 f(z) = z²。该函数在复数 z 与其平方 z² 之间建立了对应关系，就像实变量函数一样，但使用复数。请注意，对于 f(z) = z²，如果 z 是严格实数，则 f(z) 将是严格实数。

通常我们可以将函数 f(z) 写成 f(z) = f(x+iy) = a(x,y) + ib(x,y) 的形式，其中 a 和 b 是实值函数。

极限与连续性

与实值函数一样，我们也对复值函数有了极限和连续性的概念 - 我们通常的δ-ε 极限定义

$\lim _{z\to w}f(z)=L$ 当且仅当对于每个 $\epsilon >0$，存在一个 $\delta >0$，使得 $|f(z)-L|<\epsilon$ 对所有 $z$ 成立，使得 $0<|z-w|<\delta$.

请注意，ε 和 δ 是实数。这在使用不等式的过程中是隐含的：只有实数是“大于零”的。

这个极限定义和实值函数的定义之间的区别之一是绝对值的含义。这里我们指的是复数绝对值而不是实数绝对值。另一个区别在于z 接近w 的方式。对于实值函数，我们只关心z 从左侧或右侧接近w。在复数环境中，z 可以从二维复平面中的任何方向接近w：沿着穿过w 的任何直线，沿着以w 为中心的螺旋线等。

例如，设 $f(z)=z^{2}$。假设我们要证明 $\lim _{z\to i}f(z)=-1$。我们可以将z 写成 $i+\gamma$，其中我们认为γ 是一个小的复数。然后请注意 $z-i=\gamma$。然后，在我们的定义中，L 为 -1，w 为 i，我们有

$|f(z)-L|=|z^{2}+1|=|(i+\gamma )^{2}+1|=|2i\gamma +\gamma ;^{2}|$

根据三角不等式，最后一个表达式小于

$2|\gamma |+|\gamma |^{2}$

为了使这个表达式小于 ε，我们可以要求

$|\gamma |<{\frac {1}{2}}\min({\frac {\epsilon }{2}},{\sqrt {\epsilon }})$

因此，对于任何 $\epsilon >0$，如果 $\delta ={\frac {1}{2}}\min({\frac {\epsilon }{2}},{\sqrt {\epsilon }})$，并且 $|z-i|<\delta$，那么 $|f(z)-(-1)|<\epsilon$。因此，当 z 趋近于 i 时，$f(z)=z^{2}$ 的极限为 -1。

微分和全纯函数

由于我们定义了极限，我们可以像平常一样定义复函数的 导数

$\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{f(z+\Delta z)-f(z) \over \Delta z}$

只要这个极限与 Δz 趋近于零的方式无关（因为我们现在在复平面上工作，我们有更大的自由度！）。

如果对于某个值 z 或某些值的集合（一个 区域）存在这样一个极限，我们称该函数在该点或区域 全纯。连续性和单值性是解析的必要条件；然而，连续性和单值性不足以保证解析性。

许多复值的初等函数具有与实函数相同的导数：例如 D z² = 2z。

习题

根据以上内容，回答以下问题。

1. 从极限定义中求出 z³ 的导数。
2. 将 e^z 写成 a(x, y)+b(x, y)i 的形式

答案

1. $\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{(z+\Delta z)^{3}-z^{3} \over \Delta z}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}3z^{2}+3z\Delta z+{\Delta z}^{2}=3z^{2},$

2. $\ e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))=e^{x}\cos(y)+e^{x}\sin(y)i\,$

柯西-黎曼方程

我们可能想知道哪些复函数实际上是可微的。看起来全纯函数的判据比实函数的可微性判据要严格得多，事实也确实如此。假设我们有一个复函数

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\;v(x,y)$,

其中 u 和 v 是实函数。此外，假设 u 和 v 在实数意义上是可微函数。那么我们可以让 $\Delta z$ 在可微性定义中，通过仅改变 x 或仅改变 y 来逼近 0。因此，只有当 f 满足以下条件时，它才能在复数意义上可微

${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.\end{cases}}$

事实上，如果 u 和 v 在实数意义上是可微的，并且满足这两个方程，那么 f 就是全纯的。这两个方程被称为柯西-黎曼方程。

积分

在单变量微积分中，积分通常是在两个实数之间计算的

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$

在实数轴上，从 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 只有一个路径。然而，在复平面中，在两点 $z_{0}$ 和 $z_{1}$ 之间有无数条不同的路径。因此，复积分总是沿着路径进行，而不是在两点之间进行。

设 $\gamma$ 是复平面中由 $z:[a,b]\to \mathbb {C}$ 参数化的路径，设 $f(z)$ 是一个复值函数，则轮廓积分的定义类似于多元微积分中的线积分

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt$

例 设 $f(z)=z$，设 $\gamma$ 是从 0 到 1+i 的一条直线，这条曲线可以用 $z(t)=t(1+i)$ 参数化，其中 $t$ 在 0 到 1 之间变化。现在我们可以计算

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{0}^{1}(t(1+i))(1+i)dt={\frac {(1+i)^{2}}{2}}=i$

注意我们也有

$\int _{\gamma }f(z)dz={\frac {(1+i)^{2}}{2}}-{\frac {0^{2}}{2}}=i$

这表明，复反导数可用于简化积分的计算，就像实反导数用于计算实积分一样。

柯西定理

柯西定理指出，如果函数 $f$ 在开集 $\Omega$ 的闭包上是全纯的，而 $\gamma$ 是 $\Omega$ 中的一条简单闭曲线，那么

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

这可以从格林定理的角度理解，虽然这并不能轻易地得到证明，因为格林定理只在假设 f 有连续的一阶偏导数的情况下适用...

轮廓积分

进行积分的轮廓

柯西定理可以用来计算许多瑕积分（瑕积分是指积分区间中包含无穷大）。例如，考虑

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\epsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}dx$

因为

$\Im (e^{iz})=\sin z$

我们考虑

$f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}$

现在我们对上图所示的凹半圆形轮廓进行积分。我们对轮廓的每个部分进行如下参数化

$\gamma _{1}(t)=t$, $t\in [-R,-\epsilon ]$

$\gamma _{2}(t)=t$, $t\in [\epsilon ,R]$

$\gamma _{3}(t)=\epsilon e^{it}$, $t\in [0,\pi ]$

$\gamma _{4}(t)=Re^{it}$, $t\in [0,\pi ]$

根据柯西定理，整个轮廓的积分值为零。所以，

$0=\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)dz+\int _{\gamma _{2}}f(z)dz-\int _{\gamma _{3}}f(z)dz+\int _{\gamma _{4}}f(z)dz$

现在我们分别处理这些积分。

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{-R}^{-\epsilon }{\frac {e^{iz}}{z}}dz=-\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{-iz}}{z}}dz$

$\int _{\gamma _{2}}f(z)dz=\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{iz}}{z}}dz$

回忆复数正弦的定义，

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz+\int _{\gamma _{2}}f(z)dz=\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{z}}dz=2i\int _{\epsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}dx$

现在我们评估另外两个积分

$\int _{\gamma _{3}}f(z)dz=\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{-\epsilon e^{it}}i\epsilon e^{it}}{\epsilon e^{it}}}dt=i\int _{0}^{\pi }e^{-\epsilon e^{it}}dt$

当 $\epsilon \to 0$ 时，被积函数趋近于 1，所以

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{3}}f(z)dz=i\int _{0}^{\pi }dt=\pi i$

第四个积分等于零，但这个有点难证明。它的形式与第三段类似

$\int _{\gamma _{4}}f(z)dz=\int _{0}^{\pi }e^{-Re^{it}}dt$

这个被积函数更难，因为它不一定在任何地方都趋近于零。这个困难可以通过将积分分开来克服，但这里我们简单地假设它为零。

结合所有内容，我们现在有

$\int _{\gamma }f(z)dz=0=2i\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx-\pi i$

因此，

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}$

柯西积分公式

柯西积分公式描述了全纯函数在一个集合上的行为，该行为基于其在该集合边界上的行为。 如果$\Omega$ 是一个具有分段光滑边界的开集，并且 $f$ 在 ${\bar {\Omega }}$ 中是全纯的，那么

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \Omega }{\frac {f(\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}\ \ \ \forall z\in \Omega$

这是一个非凡的事实，在多元微积分中没有对应的结论。 它表明，如果我们知道全纯函数沿着闭曲线的取值，那么我们也知道它在曲线内部的任何地方的取值。

因为 $z\in \Omega$ 是一个开集，因此对于所有 $\zeta \in \partial \Omega$ 都有 $\zeta -z\neq 0$。 因此，柯西积分公式中的被积函数关于 z 是无限可微的，通过反复对等式两边求导，我们得到

$f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial \Omega }{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -z)^{n+1}}}\ \ \ \forall z\in \Omega ,n\in \mathbb {N}$

这个结果表明，全纯性比可微性是一个更强的要求。 在复平面上，如果一个函数在一个开集中只有一个导数，那么它在这个开集中有无穷多个导数。

柯西定理的推论

柯西定理和积分公式有一些强大的推论

• 幂级数的收敛性 如果一个函数在一个圆盘中是全纯的，那么它的泰勒级数在这个圆盘中收敛。
• 刘维尔定理 如果一个函数在整个 $\mathbb {C}$ 中有界且全纯，那么它等于一个常数。
• 代数基本定理 任何具有复系数的次数大于零的多项式都有一个复根。 这是刘维尔定理的一个简单推论。
• 函数的相等性 如果两个函数 $f$ 和 $g$ 在一个连通的开集 $\Omega$ 上是全纯的，并且在该集合中的任何圆盘上 $f(z)=g(z)$，那么对于所有 $z\in \Omega$ 都有 $f(z)=g(z)$。