微积分/微分/导数的应用/解答

相对极值

求以下函数的相对极大值和极小值（如果有）。

1.

f(x)={\frac {x}{x+1}}\,

f'(x)={\frac {1}{(x+1)^{2}}}

导数没有根。导数在x=-1处不存在，但函数在该点也不存在，所以它不是极值点。因此，**该函数没有相对极值。**

f'(x)={\frac {1}{(x+1)^{2}}}

导数没有根。导数在x=-1处不存在，但函数在该点也不存在，所以它不是极值点。因此，**该函数没有相对极值。**

2.

f(x)=(x-1)^{2/3}\,

f'(x)={\frac {2}{3}}(x-1)^{-1/3}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x-1}}}}

导数没有根。导数在

x=1

处不存在。

f(1)=0

。 **点

(1,0)

是一个最小值**，因为

f(x)

是非负的，因为指数中的分子是偶数。**该函数没有相对极大值。**

f'(x)={\frac {2}{3}}(x-1)^{-1/3}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x-1}}}}

导数没有根。导数在

x=1

处不存在。

f(1)=0

。 **点

(1,0)

是一个最小值**，因为

f(x)

是非负的，因为指数中的分子是偶数。**该函数没有相对极大值。**

3.

f(x)=x^{2}+{\frac {2}{x}}\,

f'(x)=2x-{\frac {2}{x^{2}}}

$2x-{\frac {2}{x^{2}}}=0\implies 2x^{3}-2=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)=2+{\frac {4}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(1)=6$
由于二阶导数为正， $x=1$ 对应于一个相对极小值。

导数在

x=0

处不存在，但函数也存在。没有相对极大值。

f'(x)=2x-{\frac {2}{x^{2}}}

$2x-{\frac {2}{x^{2}}}=0\implies 2x^{3}-2=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)=2+{\frac {4}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(1)=6$
由于二阶导数为正， $x=1$ 对应于一个相对极小值。

导数在

x=0

处不存在，但函数也存在。没有相对极大值。

4.

f(s)={\frac {s}{1+s^{2}}}\,

f'(x)={\frac {(1+s^{2})-2s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}={\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}

${\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}=0\implies s=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2s(1+s^{2})^{2}-2(1+s^{2})(2s)(1-s^{2})}{(1+s^{2})^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {-2(-1)(1+(-1)^{2})^{2}-2(1+(-1)^{2})(2(-1))(1-(-1)^{2})}{(1+(-1)^{2})^{4}}}={\frac {8}{16}}={\frac {1}{2}}$
由于 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处的二阶导数为正， $x=-1$ 对应于一个相对极小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2(1+1^{2})^{2}-2(1+1^{2})(2)(1-1^{2})}{(1+1^{2})^{4}}}={\frac {-8}{16}}=-{\frac {1}{2}}$

因为

f(x)

在

x=1

处的二阶导数为负， $x=1$ 对应于一个相对最大值。

f'(x)={\frac {(1+s^{2})-2s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}={\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}

${\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}=0\implies s=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2s(1+s^{2})^{2}-2(1+s^{2})(2s)(1-s^{2})}{(1+s^{2})^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {-2(-1)(1+(-1)^{2})^{2}-2(1+(-1)^{2})(2(-1))(1-(-1)^{2})}{(1+(-1)^{2})^{4}}}={\frac {8}{16}}={\frac {1}{2}}$
由于 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处的二阶导数为正， $x=-1$ 对应于一个相对极小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2(1+1^{2})^{2}-2(1+1^{2})(2)(1-1^{2})}{(1+1^{2})^{4}}}={\frac {-8}{16}}=-{\frac {1}{2}}$

因为

f(x)

在

x=1

处的二阶导数为负， $x=1$ 对应于一个相对最大值。

5.

f(x)=x^{2}-4x+9\,

f'(x)=2x-4

$2x-4=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)=2$

因为二阶导数为正， $x=2$ 对应于一个相对最小值。没有相对最大值。

f'(x)=2x-4

$2x-4=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)=2$

因为二阶导数为正， $x=2$ 对应于一个相对最小值。没有相对最大值。

6.

f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}\,

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(x^{2}-x+1)(2x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1-2x^{3}-2x^{2}-2x+x^{2}+x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\end{aligned}}

${\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {(-4x)(x^{2}-x+1)^{2}-(2x-1)(-2x^{2}+2)}{(x^{2}-x+1)^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {(-4(-1))((-1)^{2}-(-1)+1)^{2}-(2(-1)-1)(-2(-1)^{2}+2)}{((-1)^{2}-(-1)+1)^{4}}}={\frac {36}{81}}={\frac {4}{9}}$
由于 $f^{\prime \prime }(-1)$ 为正， $x=-1$ 对应于相对最小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{1}}=-4$

由于

f^{\prime \prime }(1)

为负， $x=1$ 对应于相对最大值。

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(x^{2}-x+1)(2x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1-2x^{3}-2x^{2}-2x+x^{2}+x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\end{aligned}}

${\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {(-4x)(x^{2}-x+1)^{2}-(2x-1)(-2x^{2}+2)}{(x^{2}-x+1)^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {(-4(-1))((-1)^{2}-(-1)+1)^{2}-(2(-1)-1)(-2(-1)^{2}+2)}{((-1)^{2}-(-1)+1)^{4}}}={\frac {36}{81}}={\frac {4}{9}}$
由于 $f^{\prime \prime }(-1)$ 为正， $x=-1$ 对应于相对最小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{1}}=-4$

由于

f^{\prime \prime }(1)

为负， $x=1$ 对应于相对最大值。

函数的值域

7. 证明表达式

x+1/x

不能取严格介于 2 和 -2 之间的任何值。

f(x)=x+{\frac {1}{x}}

$f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}$
$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {2}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)=-2$
由于 $f^{\prime \prime }(-1)$ 为负， $x=-1$ 对应于相对最大值。
$f(-1)=-2$
$\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$
对于 $x<-1$ ， $f'(x)$ 为正，这意味着函数是递增的。从非常负的 $x$ 值开始， $f$ 从非常负的值增加到在 $x=-1$ 达到相对最大值 $-2$ 。
对于 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 为负，这意味着函数是递减的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$
$f^{\prime \prime }(1)=2$
由于 $f^{\prime \prime }(1)$ 为正， $x=1$ 对应于相对最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 区间上，函数从 $-2$ 递减到 $-\infty$ ，然后跳跃到 $+\infty$ ，并继续递减直到在 $x=1$ 处达到局部最小值 $2$ 。
对于 $x>1$ ， $f'(x)$ 为正，因此函数从最小值 $2$ 递增。

以上分析表明函数的值域在

-2

和

2

之间存在间隙。

f(x)=x+{\frac {1}{x}}

$f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}$
$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {2}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)=-2$
由于 $f^{\prime \prime }(-1)$ 为负， $x=-1$ 对应于相对最大值。
$f(-1)=-2$
$\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$
对于 $x<-1$ ， $f'(x)$ 为正，这意味着函数是递增的。从非常负的 $x$ 值开始， $f$ 从非常负的值增加到在 $x=-1$ 达到相对最大值 $-2$ 。
对于 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 为负，这意味着函数是递减的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$
$f^{\prime \prime }(1)=2$
由于 $f^{\prime \prime }(1)$ 为正， $x=1$ 对应于相对最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 区间上，函数从 $-2$ 递减到 $-\infty$ ，然后跳跃到 $+\infty$ ，并继续递减直到在 $x=1$ 处达到局部最小值 $2$ 。
对于 $x>1$ ， $f'(x)$ 为正，因此函数从最小值 $2$ 递增。

以上分析表明函数的值域在

-2

和

2

之间存在间隙。

绝对极值

确定以下函数在给定域上的绝对最大值和最小值

8.

f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+1

在

[0,3]

上

f

在

[0,3]

上可微，因此极值定理保证了在

[0,3]

上存在绝对最大值和最小值。找到并检查临界点

$f'(x)=x^{2}-x$
$x^{2}-x=0\implies x=0,1$
$f(0)=1$
$f(1)={\frac {5}{6}}$
检查端点
$f(3)={\frac {11}{2}}$

最大值在 $(3,{\frac {11}{2}})$ ；最小值在 $(1,{\frac {5}{6}})$

f

在

[0,3]

上可微，因此极值定理保证了在

[0,3]

上存在绝对最大值和最小值。找到并检查临界点

$f'(x)=x^{2}-x$
$x^{2}-x=0\implies x=0,1$
$f(0)=1$
$f(1)={\frac {5}{6}}$
检查端点
$f(3)={\frac {11}{2}}$

最大值在 $(3,{\frac {11}{2}})$ ；最小值在 $(1,{\frac {5}{6}})$

9.

f(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)x

在

[-{\frac {1}{2}},2]

上

f'(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)+x({\frac {8}{3}}x)=4x^{2}-1

$4x^{2}-1=0\implies x=\pm {\frac {1}{2}}$
$f(-{\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)(-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{3}}$
$f({\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)({\frac {1}{2}})=-{\frac {1}{3}}$
$f(2)=({\frac {16}{3}}-1)(2)={\frac {26}{3}}$

最大值在 $(2,{\frac {26}{3}})$ ；最小值在 $({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}})$

f'(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)+x({\frac {8}{3}}x)=4x^{2}-1

$4x^{2}-1=0\implies x=\pm {\frac {1}{2}}$
$f(-{\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)(-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{3}}$
$f({\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)({\frac {1}{2}})=-{\frac {1}{3}}$
$f(2)=({\frac {16}{3}}-1)(2)={\frac {26}{3}}$

最大值在 $(2,{\frac {26}{3}})$ ；最小值在 $({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}})$

确定变化区间

找到以下函数递增或递减的区间

10.

f(x)=10-6x-2x^{2}

f'(x)=-6-4x

$-6-4x=0\implies x=-{\frac {3}{2}}$
$f'(x)$ 是一个负斜率直线的方程，所以 $f'(x)$ 在 $x<-{\frac {3}{2}}$ 时为正，在 $x>{\frac {3}{2}}$ 时为负。

这意味着函数在

(-\infty ,-{\frac {3}{2}})

上 **递增**，在

({\frac {3}{2}},+\infty )

上 **递减**。

f'(x)=-6-4x

$-6-4x=0\implies x=-{\frac {3}{2}}$
$f'(x)$ 是一个负斜率直线的方程，所以 $f'(x)$ 在 $x<-{\frac {3}{2}}$ 时为正，在 $x>{\frac {3}{2}}$ 时为负。

这意味着函数在

(-\infty ,-{\frac {3}{2}})

上 **递增**，在

({\frac {3}{2}},+\infty )

上 **递减**。

11.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

f'(x)=6x^{2}-24x+18

${\begin{aligned}6x^{2}-24x+18=0&\implies x-4x+3=0\\&\implies (x-1)(x-3)=0\\&\implies x=1,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一个碗形的抛物线，它在 $x$ 轴上与 $1$ 和 $3$ 相交，所以 $f'(x)$ 在 $1<x<3$ 时为负，在其他地方为正。

这意味着函数在

(1,3)

上 **递减**，在其他地方 **递增**。

f'(x)=6x^{2}-24x+18

${\begin{aligned}6x^{2}-24x+18=0&\implies x-4x+3=0\\&\implies (x-1)(x-3)=0\\&\implies x=1,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一个碗形的抛物线，它在 $x$ 轴上与 $1$ 和 $3$ 相交，所以 $f'(x)$ 在 $1<x<3$ 时为负，在其他地方为正。

这意味着函数在

(1,3)

上 **递减**，在其他地方 **递增**。

12.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

f'(x)=36+6x-6x^{2}

${\begin{aligned}36+6x-6x^{2}=0&\implies 6+x-x^{2}=0\\&\implies (x+2)(-x+3)=0\\&\implies x=-2,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一个山形抛物线，它穿过 $x$ 轴于 $-2$ 和 $3$ ，所以 $f'(x)$ 在 $-2<x<3$ 时为正，在其他地方为负。

这意味着该函数在

(-2,3)

上 **递增**，在其他地方 **递减**。

f'(x)=36+6x-6x^{2}

${\begin{aligned}36+6x-6x^{2}=0&\implies 6+x-x^{2}=0\\&\implies (x+2)(-x+3)=0\\&\implies x=-2,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一个山形抛物线，它穿过 $x$ 轴于 $-2$ 和 $3$ ，所以 $f'(x)$ 在 $-2<x<3$ 时为正，在其他地方为负。

这意味着该函数在

(-2,3)

上 **递增**，在其他地方 **递减**。

13.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

如果你做了上一个练习，那么就不需要任何计算，因为这个函数与那个函数具有相同的导数，因此在相同的区间上递增和递减；也就是说，该函数在

(-2,3)

上 **递增**，在其他地方 **递减**。

如果你做了上一个练习，那么就不需要任何计算，因为这个函数与那个函数具有相同的导数，因此在相同的区间上递增和递减；也就是说，该函数在

(-2,3)

上 **递增**，在其他地方 **递减**。

14.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

f'(x)=15x^{2}-30x-120

${\begin{aligned}15x^{2}-30x-120=0&\implies x^{2}-2x-8=0\\&\implies (x+2)(x-4)=0\\&\implies x=-2,4\end{aligned}}$
$f'$ 在 $(-2,4)$ 上为负，在其他地方为正。

所以

f

在

(-2,4)

上是递减的，在其他地方是递增的。

f'(x)=15x^{2}-30x-120

${\begin{aligned}15x^{2}-30x-120=0&\implies x^{2}-2x-8=0\\&\implies (x+2)(x-4)=0\\&\implies x=-2,4\end{aligned}}$
$f'$ 在 $(-2,4)$ 上为负，在其他地方为正。

所以

f

在

(-2,4)

上是递减的，在其他地方是递增的。

15.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

f'(x)=3x^{2}-12x-36

${\begin{aligned}3x^{2}-12x-36=0&\implies x^{2}-4x-12=0\\&\implies (x+2)(x-6)=0\\&\implies x=-2,6\end{aligned}}$

f

在

(-2,6)

上是递减的，在其他地方是递增的。

f'(x)=3x^{2}-12x-36

${\begin{aligned}3x^{2}-12x-36=0&\implies x^{2}-4x-12=0\\&\implies (x+2)(x-6)=0\\&\implies x=-2,6\end{aligned}}$

f

在

(-2,6)

上是递减的，在其他地方是递增的。

确定凹凸区间

找出以下函数向上凹或向下凹的区间

16.

f(x)=10-6x-2x^{2}

f'(x)=-6-4x

$f''(x)=-4$

该函数在任何地方都是向下凹的。

f'(x)=-6-4x

$f''(x)=-4$

该函数在任何地方都是向下凹的。

17.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

f'(x)=6x^{2}-24x+18

$f^{\prime \prime }(x)=12x-24$
$12x-24=0\implies x=2$
当 $x<2$ 时， $f^{\prime \prime }(x)$ 为负，当 $x>2$ 时， $f^{\prime \prime }(x)$ 为正。

这意味着该函数在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

f'(x)=6x^{2}-24x+18

$f^{\prime \prime }(x)=12x-24$
$12x-24=0\implies x=2$
当 $x<2$ 时， $f^{\prime \prime }(x)$ 为负，当 $x>2$ 时， $f^{\prime \prime }(x)$ 为正。

这意味着该函数在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

18.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

f'(x)=36+6x-6x^{2}

$f^{\prime \prime }(x)=6-12x$
$6-12x=0\implies x={\frac {1}{2}}$

这意味着该函数在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

f'(x)=36+6x-6x^{2}

$f^{\prime \prime }(x)=6-12x$
$6-12x=0\implies x={\frac {1}{2}}$

这意味着该函数在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

19.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

如果你做了上一题，那么就无需进行任何计算，因为该函数与上一题函数具有相同的二阶导数，因此在相同的区间上是凸的和凹的；也就是说，该函数在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

如果你做了上一题，那么就无需进行任何计算，因为该函数与上一题函数具有相同的二阶导数，因此在相同的区间上是凸的和凹的；也就是说，该函数在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

20.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

f'(x)=15x^{2}-30x-120

$f^{\prime \prime }(x)=30x-30$
$30x-30=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)$ 当 $x>1$ 时为正，当 $x<1$ 时为负。

这意味着该函数在

(-\infty ,1)

上是 **凹的**，在

(1,+\infty )

上是 **凸的**。**

f'(x)=15x^{2}-30x-120

$f^{\prime \prime }(x)=30x-30$
$30x-30=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)$ 当 $x>1$ 时为正，当 $x<1$ 时为负。

这意味着该函数在

(-\infty ,1)

上是 **凹的**，在

(1,+\infty )

上是 **凸的**。**

21.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

f'(x)=3x^{2}-12x-36

$f^{\prime \prime }(x)=6x-12$
$6x-12=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)$ 当 $x>2$ 时为正，当 $x<2$ 时为负。

这意味着该函数在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

f'(x)=3x^{2}-12x-36

$f^{\prime \prime }(x)=6x-12$
$6x-12=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)$ 当 $x>2$ 时为正，当 $x<2$ 时为负。

这意味着该函数在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

文字问题

22. 你从拐角处探头，一只 64 米远的迅猛龙发现了你。你以每秒 6 米的速度逃跑。迅猛龙追赶，以

4t

米/秒的速度朝着你刚离开的拐角跑去（时间

t

以秒为单位，从发现你开始计时）。在你跑了 4 秒后，迅猛龙距离拐角 32 米。此时，死亡以多快的速度接近你即将被撕碎的肉体？也就是说，你与迅猛龙之间距离的变化率是多少？

速度是位置相对于时间的变化率。迅猛龙相对于你的速度由下式给出：

${\frac {dx}{dt}}=v(t)=4t-6$
4 秒后，位置相对于时间的变化率是

v(4)=16-6=\mathbf {10{\frac {m}{s}}}

速度是位置相对于时间的变化率。迅猛龙相对于你的速度由下式给出：

${\frac {dx}{dt}}=v(t)=4t-6$
4 秒后，位置相对于时间的变化率是

v(4)=16-6=\mathbf {10{\frac {m}{s}}}

23. 两辆自行车同时从一个十字路口出发。一辆向北行驶，速度为 12 英里/小时，另一辆向东行驶，速度为 5 英里/小时。一小时后，这两辆自行车彼此远离的速度是多少？

建立一个坐标系，以十字路口为原点，

+y

轴指向北。我们假设向北行驶的自行车的距离是向东行驶的自行车的距离的函数。

$y={\frac {12}{5}}x$
两辆自行车之间的距离由下式给出：
$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+({\frac {12}{5}}x)^{2}}}={\sqrt {{\frac {144+25}{25}}x^{2}}}={\sqrt {{\frac {169}{25}}x^{2}}}={\frac {13}{5}}x$
令 $t$ 代表经过的时间（以小时计）。我们想要 ${\frac {ds}{dt}}$ 当 $t=1$ 。对 $s$ 应用链式法则。
${\frac {ds}{dt}}={\frac {ds}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {13}{5}}\cdot 5=13$

因此，两辆自行车以 **13 英里/小时** 的速度相互远离。

建立一个坐标系，以十字路口为原点，

+y

轴指向北。我们假设向北行驶的自行车的距离是向东行驶的自行车的距离的函数。

$y={\frac {12}{5}}x$
两辆自行车之间的距离由下式给出：
$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+({\frac {12}{5}}x)^{2}}}={\sqrt {{\frac {144+25}{25}}x^{2}}}={\sqrt {{\frac {169}{25}}x^{2}}}={\frac {13}{5}}x$
令 $t$ 代表经过的时间（以小时计）。我们想要 ${\frac {ds}{dt}}$ 当 $t=1$ 。对 $s$ 应用链式法则。
${\frac {ds}{dt}}={\frac {ds}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {13}{5}}\cdot 5=13$

因此，两辆自行车以 **13 英里/小时** 的速度相互远离。

24. 你正在制作一个容积为 200 m

^{3}

的罐子，用金子做侧面，用银子做顶部和底部。假设金子每平方米的价格为 10 美元，银子每平方米的价格为 1 美元。这种罐子的最低成本是多少？

罐子的容积是半径

r

和高度

h

的函数：

$V=\pi r^{2}h$
我们被限制为制作一个容积为 $200m^{3}$ 的罐子，所以我们使用这个事实来关联半径和高度：
$\pi r^{2}h=200\implies h={\frac {200}{\pi r^{2}}}$
侧面的表面积为：
$A_{side}=2\pi rh=2\pi r{\frac {200}{\pi r^{2}}}={\frac {400}{r}}$
侧面的成本为：
$C_{side}={\frac {4000}{r}}$
顶部和底部的表面积（也是成本）为
$A_{tb}=C_{tb}=2\pi r^{2}$
总成本由下式给出
$C={\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2}$
我们想要最小化 $C$ ，所以求导数
$C'=-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r$
找到临界点
$-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r=0\implies 4\pi r={\frac {4000}{r^{2}}}\implies 4\pi r^{3}=4000\implies r={\sqrt[{3}]{\frac {1000}{\pi }}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}$
检查二阶导数以查看此点是否对应于最大值或最小值
$C^{\prime \prime }={\frac {8000}{r^{3}}}+4\pi$
$C^{\prime \prime }({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {8000}{1000/\pi }}+4\pi =8\pi +4\pi =12\pi$
由于二阶导数为正，临界点对应于最小值。因此，最小成本为

C({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {4000}{10/{\sqrt[{3}]{\pi }}}}+2\pi {\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}\approx \mathbf {\$878.76}

罐子的容积是半径

r

和高度

h

的函数：

$V=\pi r^{2}h$
我们被限制为制作一个容积为 $200m^{3}$ 的罐子，所以我们使用这个事实来关联半径和高度：
$\pi r^{2}h=200\implies h={\frac {200}{\pi r^{2}}}$
侧面的表面积为：
$A_{side}=2\pi rh=2\pi r{\frac {200}{\pi r^{2}}}={\frac {400}{r}}$
侧面的成本为：
$C_{side}={\frac {4000}{r}}$
顶部和底部的表面积（也是成本）为
$A_{tb}=C_{tb}=2\pi r^{2}$
总成本由下式给出
$C={\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2}$
我们想要最小化 $C$ ，所以求导数
$C'=-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r$
找到临界点
$-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r=0\implies 4\pi r={\frac {4000}{r^{2}}}\implies 4\pi r^{3}=4000\implies r={\sqrt[{3}]{\frac {1000}{\pi }}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}$
检查二阶导数以查看此点是否对应于最大值或最小值
$C^{\prime \prime }={\frac {8000}{r^{3}}}+4\pi$
$C^{\prime \prime }({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {8000}{1000/\pi }}+4\pi =8\pi +4\pi =12\pi$
由于二阶导数为正，临界点对应于最小值。因此，最小成本为

C({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {4000}{10/{\sqrt[{3}]{\pi }}}}+2\pi {\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}\approx \mathbf {\$878.76}

25. 一位农民正在投资

216{\rm {\,cm}}

的围栏，以便他可以创建一个户外围栏来展示三种不同的动物出售。为了使成本效益最大化，他使用户外谷仓的其中一面墙作为围栏区域的一侧，该区域能够包围整个区域。他希望动物漫游的内部区域是全等的（即他希望将总面积分成三个相等的区域）。在这些条件下，动物可以漫游的最大内部区域是多少？

在给定材料长度的情况下最大化面积时，一个重要因素是要考虑其中一面不是由相同材料制成的，而是已经存在的材料（即谷仓墙代替围栏）。此外，漫游区域是全等的，所以

A=3lw

对于某些长度和宽度，因此周长是

3w+4l=216

。尝试绘制所呈现的情况，面积和周长参数可能会更有意义。

注意， $3w+4l=216\Leftrightarrow 3w=216-4l$ ，所以 $A=3lw=l(3w)\Rightarrow A(l)=l(216-4l)=216l-4l^{2}$ 。因此，为了最大化总面积（这也将最大化动物的内部活动区域，因为每个区域都是全等的），我们对面积函数关于长度求导。

A^{\prime }(l)=216-8l

A^{\prime }(l)=0\Rightarrow l=27

注意，由于 $A^{\prime \prime }(l)=-8<0$ 对于所有 $l$ ，这意味着 $A(27)$ 是一个局部最大值。

A(27)=27(216-4\cdot 27)=2916

因此，其中一只动物的内部最大活动区域是

2916/3=\mathbf {972} {\rm {\,cm^{2}}}

。

在给定材料长度的情况下最大化面积时，一个重要因素是要考虑其中一面不是由相同材料制成的，而是已经存在的材料（即谷仓墙代替围栏）。此外，漫游区域是全等的，所以

A=3lw

对于某些长度和宽度，因此周长是

3w+4l=216

。尝试绘制所呈现的情况，面积和周长参数可能会更有意义。

注意， $3w+4l=216\Leftrightarrow 3w=216-4l$ ，所以 $A=3lw=l(3w)\Rightarrow A(l)=l(216-4l)=216l-4l^{2}$ 。因此，为了最大化总面积（这也将最大化动物的内部活动区域，因为每个区域都是全等的），我们对面积函数关于长度求导。

A^{\prime }(l)=216-8l

A^{\prime }(l)=0\Rightarrow l=27

注意，由于 $A^{\prime \prime }(l)=-8<0$ 对于所有 $l$ ，这意味着 $A(27)$ 是一个局部最大值。

A(27)=27(216-4\cdot 27)=2916

因此，其中一只动物的内部最大活动区域是

2916/3=\mathbf {972} {\rm {\,cm^{2}}}

。

26. 在半径为

r

的圆内，内接矩形（使矩形的角点在圆周上）的最大面积是多少？

矩形的对角线在同一点相遇。由于它内接于圆内，因此圆的中点与矩形对角线的交点相同。因此，半径和圆和矩形上的一个点

(x,y)

之间的关系为

x^{2}+y^{2}=r^{2}

。

由于必须满足 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，这也意味着点集 $P=\{(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$ 也满足该关系。因此，水平或垂直相关两点之间的距离分别是 $2x$ 和 $2y$ ，因此矩形的面积由 $A=2x\cdot 2y=4xy$ 给出。

因此，根据 $x$ ，矩形的面积为 $A(x)=4x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ，其中 $0\leq x\leq r$ 。求导以找到最大值，

A^{\prime }(x)=4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

请注意，在 $x=\pm r$ 处存在临界点（因为导数在这些点上不存在）。我们只关注 $x=r$ ，因为 $x=-r$ 超出了感兴趣的点。

将导数设置为零以找到其他临界点。

{\begin{aligned}A^{\prime }(x)=0&\Rightarrow 4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}=0\\&\Rightarrow 4\left(r^{2}-x^{2}\right)-4x^{2}=0\\&\Rightarrow 4r^{2}-8x^{2}=0\\&\Rightarrow x^{2}={\frac {r^{2}}{2}}{\text{ or }}x=\pm {\frac {r}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

由于 $x=-{\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 超出了我们感兴趣的点，所以我们只关注在 $x={\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 处的临界点。因此，我们测试三个临界点

{\begin{aligned}A(0)&=4\cdot (0)\cdot {\sqrt {r^{2}-(0)^{2}}}=0\\A\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)&=4\cdot \left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)\cdot {\sqrt {r^{2}-\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r^{2}}{2}}=2r^{2}\\A(r)&=4\cdot (r)\cdot {\sqrt {r^{2}-(r)^{2}}}=0\end{aligned}}

测试的临界点中，最大的面积是

{\textbf {2r}}^{\textbf {2}}

.

矩形的对角线在同一点相遇。由于它内接于圆内，因此圆的中点与矩形对角线的交点相同。因此，半径和圆和矩形上的一个点

(x,y)

之间的关系为

x^{2}+y^{2}=r^{2}

。

由于必须满足 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，这也意味着点集 $P=\{(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$ 也满足该关系。因此，水平或垂直相关两点之间的距离分别是 $2x$ 和 $2y$ ，因此矩形的面积由 $A=2x\cdot 2y=4xy$ 给出。

因此，根据 $x$ ，矩形的面积为 $A(x)=4x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ，其中 $0\leq x\leq r$ 。求导以找到最大值，

A^{\prime }(x)=4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

请注意，在 $x=\pm r$ 处存在临界点（因为导数在这些点上不存在）。我们只关注 $x=r$ ，因为 $x=-r$ 超出了感兴趣的点。

将导数设置为零以找到其他临界点。

{\begin{aligned}A^{\prime }(x)=0&\Rightarrow 4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}=0\\&\Rightarrow 4\left(r^{2}-x^{2}\right)-4x^{2}=0\\&\Rightarrow 4r^{2}-8x^{2}=0\\&\Rightarrow x^{2}={\frac {r^{2}}{2}}{\text{ or }}x=\pm {\frac {r}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

由于 $x=-{\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 超出了我们感兴趣的点，所以我们只关注在 $x={\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 处的临界点。因此，我们测试三个临界点

{\begin{aligned}A(0)&=4\cdot (0)\cdot {\sqrt {r^{2}-(0)^{2}}}=0\\A\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)&=4\cdot \left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)\cdot {\sqrt {r^{2}-\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r^{2}}{2}}=2r^{2}\\A(r)&=4\cdot (r)\cdot {\sqrt {r^{2}-(r)^{2}}}=0\end{aligned}}

测试的临界点中，最大的面积是

{\textbf {2r}}^{\textbf {2}}

.

27. 有一根圆柱体要安装在一个半径为

R=3{\rm {\,in}}

的玻璃球形展示柜中。（球体将围绕圆柱体形成）。圆柱体在这样的展示柜中能达到的最大体积是多少？

请注意图中，圆柱的角可以连接到球体的中心

O

。此外，球体的中心也是圆柱的中心，因此，给定高度

h

和半径

r

，圆柱的角与球体的关系由下式给出：

r^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}

。

给定圆柱的体积为 $V=\pi r^{2}h$ ，并且 $r^{2}=R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}$ ，圆柱相对于高度的体积为

V(h)=\pi \left(R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h=\pi hR^{2}-{\frac {h^{3}\pi }{4}}

V^{\prime }(h)=\pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}

将导数设置为零得到临界点。

{\begin{aligned}V^{\prime }(h)=0&\Rightarrow \pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}=0\\&\Rightarrow \pi \left(R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}\right)=0\\&\Rightarrow R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}=0\Rightarrow R^{2}={\frac {3h^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {\frac {4}{3}}R^{2}=h^{2}\\&\Rightarrow h=\pm {\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\end{aligned}}

.

请记住，体积必须为正数，因此 $h>0$ 。因此，我们只需要考虑临界点 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 。求二阶导数

V^{\prime \prime }(h)=-{\frac {6\pi }{4}}h=-{\frac {3\pi }{2}}h

由于临界点 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 为正数，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 为线性函数， $V^{\prime \prime }(0)=0$ ，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 呈下降趋势，

V^{\prime \prime }\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)<0

，所以根据二阶导数检验，

V\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)

是一个局部最大值。

回想一下，球体的半径为 $R=3$ ，因此 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}\cdot 3^{2}}}={\sqrt {12}}$ 。

{\begin{aligned}V({\sqrt {12}})&=\pi \left(3^{2}-{\frac {\left({\sqrt {12}}\right)^{2}}{4}}\right){\sqrt {12}}\\&=\pi \left(9-3\right){\sqrt {4\cdot 3}}\\&=\pi \left(6\right)2{\sqrt {3}}=12\pi {\sqrt {3}}\end{aligned}}

因此，内接于球体的圆柱体的最大体积为

{\textbf {12}}{\boldsymbol {\pi }}{\sqrt {\textbf {3}}}\,{\textbf {in}}^{\textbf {3}}

。

请注意图中，圆柱的角可以连接到球体的中心

O

。此外，球体的中心也是圆柱的中心，因此，给定高度

h

和半径

r

，圆柱的角与球体的关系由下式给出：

r^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}

。

给定圆柱的体积为 $V=\pi r^{2}h$ ，并且 $r^{2}=R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}$ ，圆柱相对于高度的体积为

V(h)=\pi \left(R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h=\pi hR^{2}-{\frac {h^{3}\pi }{4}}

V^{\prime }(h)=\pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}

将导数设置为零得到临界点。

{\begin{aligned}V^{\prime }(h)=0&\Rightarrow \pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}=0\\&\Rightarrow \pi \left(R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}\right)=0\\&\Rightarrow R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}=0\Rightarrow R^{2}={\frac {3h^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {\frac {4}{3}}R^{2}=h^{2}\\&\Rightarrow h=\pm {\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\end{aligned}}

.

请记住，体积必须为正数，因此 $h>0$ 。因此，我们只需要考虑临界点 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 。求二阶导数

V^{\prime \prime }(h)=-{\frac {6\pi }{4}}h=-{\frac {3\pi }{2}}h

由于临界点 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 为正数，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 为线性函数， $V^{\prime \prime }(0)=0$ ，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 呈下降趋势，

V^{\prime \prime }\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)<0

，所以根据二阶导数检验，

V\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)

是一个局部最大值。

回想一下，球体的半径为 $R=3$ ，因此 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}\cdot 3^{2}}}={\sqrt {12}}$ 。

{\begin{aligned}V({\sqrt {12}})&=\pi \left(3^{2}-{\frac {\left({\sqrt {12}}\right)^{2}}{4}}\right){\sqrt {12}}\\&=\pi \left(9-3\right){\sqrt {4\cdot 3}}\\&=\pi \left(6\right)2{\sqrt {3}}=12\pi {\sqrt {3}}\end{aligned}}

因此，内接于球体的圆柱体的最大体积为

{\textbf {12}}{\boldsymbol {\pi }}{\sqrt {\textbf {3}}}\,{\textbf {in}}^{\textbf {3}}

。

28. 一个身高

6\,{\rm {ft}}

的人正远离一盏

15

英尺高的路灯。此人以

6

英尺每秒的速度远离路灯。请问，此人影子长度相对于时间的变化速度（速度而不是速率）是多少？

路灯和人可以用三角关系来表示，如下图所示。人， ${\overline {PB}}$ ，正以 $6$ 英尺每秒的速度远离路灯，因此 ${\overline {AB}}$ 的长度也必须在变化。所以，我们将此长度设为 $x$ 。假设影子的长度和人与灯柱的距离是 $L$ ，即 $m{\overline {AQ}}=L$ ，则影子长度为 $m{\overline {BQ}}=L-x$ 。

注意所涉及的相似三角形： $\triangle OCP\sim \triangle PBQ$ ，因为 $\angle OPC\cong \angle PQB$ （你自己证明吧！）。因此，我们可以将长度表示如下：

{\begin{aligned}{\frac {m{\overline {BQ}}}{m{\overline {PB}}}}&={\frac {m{\overline {CP}}}{m{\overline {OC}}}}\\{\frac {L-x}{6}}&={\frac {x}{15-6}}\\(L-x)(15-6)=9L-9x&=6x\\L&={\frac {15}{9}}x\end{aligned}}

影子长度作为人与灯柱距离的函数是

S(x)=L-x={\frac {15}{9}}x-x={\frac {2}{3}}x

。因此，影子长度的变化率是

{\frac {dS}{dt}}={\frac {2}{3}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{3}}\cdot 6\,{\rm {ft/s}}={\textbf {4}}\,{\textbf {ft/s}}

。

路灯和人可以用三角关系来表示，如下图所示。人， ${\overline {PB}}$ ，正以 $6$ 英尺每秒的速度远离路灯，因此 ${\overline {AB}}$ 的长度也必须在变化。所以，我们将此长度设为 $x$ 。假设影子的长度和人与灯柱的距离是 $L$ ，即 $m{\overline {AQ}}=L$ ，则影子长度为 $m{\overline {BQ}}=L-x$ 。

注意所涉及的相似三角形： $\triangle OCP\sim \triangle PBQ$ ，因为 $\angle OPC\cong \angle PQB$ （你自己证明吧！）。因此，我们可以将长度表示如下：

{\begin{aligned}{\frac {m{\overline {BQ}}}{m{\overline {PB}}}}&={\frac {m{\overline {CP}}}{m{\overline {OC}}}}\\{\frac {L-x}{6}}&={\frac {x}{15-6}}\\(L-x)(15-6)=9L-9x&=6x\\L&={\frac {15}{9}}x\end{aligned}}

影子长度作为人与灯柱距离的函数是

S(x)=L-x={\frac {15}{9}}x-x={\frac {2}{3}}x

。因此，影子长度的变化率是

{\frac {dS}{dt}}={\frac {2}{3}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{3}}\cdot 6\,{\rm {ft/s}}={\textbf {4}}\,{\textbf {ft/s}}

。

29. 一艘独木舟正被一根绷紧的绳索拉向码头（垂直于水面）。独木舟在被拉动时与水面垂直。绳索以恒定的速度 $5\,{\rm {ft/s}}$ 被拉入。码头距离水面 $5\,{\rm {ft}}$ 。回答问题（a）至（b）。

(a) 当

13\,{\rm {ft}}

的绳索伸出时，船以多快的速度靠近码头？

由于船距离码头

x

英尺，码头高度为

y=5\,{\rm {ft}}

，并且这两个测量值是垂直的，因此毕达哥拉斯定理适用。绳索的长度，

r=13\,{\rm {ft}}

，是

x

和

y

之间的斜边，所以

x^{2}+5^{2}=13^{2}\Rightarrow x=12\,{\rm {ft}}

.

隐式地对关系 ( $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ) 求导，我们得到 $2x\cdot {\frac {dx}{dt}}=2r\cdot {\frac {dr}{dt}}$ （注意码头高度是恒定的）。将 ${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}$ 单独分离

{\begin{aligned}{\dot {x}}&={\frac {r}{x}}{\dot {r}}\\&={\frac {13}{5}}\cdot 5\,{\rm {ft/s}}\\&={\textbf {13}}\,{\textbf {ft/s}}\end{aligned}}

由于船距离码头

x

英尺，码头高度为

y=5\,{\rm {ft}}

，并且这两个测量值是垂直的，因此毕达哥拉斯定理适用。绳索的长度，

r=13\,{\rm {ft}}

，是

x

和

y

之间的斜边，所以

x^{2}+5^{2}=13^{2}\Rightarrow x=12\,{\rm {ft}}

.

隐式地对关系 ( $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ) 求导，我们得到 $2x\cdot {\frac {dx}{dt}}=2r\cdot {\frac {dr}{dt}}$ （注意码头高度是恒定的）。将 ${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}$ 单独分离

{\begin{aligned}{\dot {x}}&={\frac {r}{x}}{\dot {r}}\\&={\frac {13}{5}}\cdot 5\,{\rm {ft/s}}\\&={\textbf {13}}\,{\textbf {ft/s}}\end{aligned}}

(b) 因此，绳索与码头之间角度的变化率是多少？

在这种情况下，码头和绳索之间的夹角为

\sin(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {12}{13}}

。请注意，根据给定的量，

\cos(\theta )={\frac {5}{13}}

。隐式求导告诉我们

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\cos(\theta )&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}\cos(\theta )}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {13\cdot 13-12\cdot 13}{(13)^{2}\cdot {\frac {5}{13}}}}\\&={\frac {1}{5}}={\textbf {0.2}}\,{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在数量上是一个无量纲的量，但在上下文中，定义单位是有用的。

在这种情况下，码头和绳索之间的夹角为

\sin(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {12}{13}}

。请注意，根据给定的量，

\cos(\theta )={\frac {5}{13}}

。隐式求导告诉我们

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\cos(\theta )&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}\cos(\theta )}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {13\cdot 13-12\cdot 13}{(13)^{2}\cdot {\frac {5}{13}}}}\\&={\frac {1}{5}}={\textbf {0.2}}\,{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在数量上是一个无量纲的量，但在上下文中，定义单位是有用的。

30. 一位非常热情的家长正在用摄像机拍摄你班上的一名跑步者在

100\,{\rm {m}}

比赛中的表现。这位家长将跑步者置于画面中心，并且正在录制距离直线跑道

2\,{\rm {m}}

的地方。你班上的跑步者以恒定的

4\,{\rm {m/s}}

速度奔跑。如果跑步者在家长直接拍摄（跑步者的运动方向和家长的视线垂直的点）后半秒钟经过家长，那么拍摄角度的变化率是多少？

在这种情况下，跑步者和从跑道到家长的直线之间的夹角为

\tan(\theta )={\frac {x}{2}}

。隐式求导告诉我们

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\sec ^{2}(\theta )&={\frac {\dot {x}}{2}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {\dot {x}}{2\sec ^{2}(\theta )}}\\&={\frac {\dot {x}}{2}}\cos ^{2}(\theta )\end{aligned}}

注意 $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {x}{2}}\right)$ 。由于在直线射击后 $x(t)=4t$ ， $x(0.5)=4\cdot 0.5=2$ 。因此，因为 $\tan ^{-1}\left(1\right)={\frac {\pi }{4}}$ ,

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\frac {4}{2}}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=2\cdot {\frac {1}{2}}={\textbf {1}}\;{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在数量上是一个无量纲的量，但在上下文中，定义单位是有用的。

在这种情况下，跑步者和从跑道到家长的直线之间的夹角为

\tan(\theta )={\frac {x}{2}}

。隐式求导告诉我们

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\sec ^{2}(\theta )&={\frac {\dot {x}}{2}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {\dot {x}}{2\sec ^{2}(\theta )}}\\&={\frac {\dot {x}}{2}}\cos ^{2}(\theta )\end{aligned}}

注意 $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {x}{2}}\right)$ 。由于在直线射击后 $x(t)=4t$ ， $x(0.5)=4\cdot 0.5=2$ 。因此，因为 $\tan ^{-1}\left(1\right)={\frac {\pi }{4}}$ ,

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\frac {4}{2}}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=2\cdot {\frac {1}{2}}={\textbf {1}}\;{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在数量上是一个无量纲的量，但在上下文中，定义单位是有用的。

近似问题

假设，对于这些问题，假设 $\pi \approx 3.14$ 和 $e\approx 2.718$ ，除非另有说明。可以使用计算器或设计计算机程序，但必须在必要时指示每个步骤的方法和推理。

35. 使用任何方法近似

\sin(3)

。如果您使用牛顿法或欧拉法，请最多进行三次 (3) 迭代。

这只是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用欧拉法。为此，请用

y(x)

表示导数

f(x,y)={\frac {dy}{dx}}

。

{\frac {d}{dx}}\left[\sin(x)\right]=\cos(x)

我们知道 $\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$ 。由于 $y=\sin(x)$ ,

f(x,y)={\sqrt {1-y^{2}}}

.

我们将使用步长 $\Delta x=\pi -3\approx 0.14$ ，因为这样在没有使用计算器的情况下最容易计算。令 $y_{0}=y(\pi )$ 。

y_{1}=0+0.14f\left(\pi ,0\right)

y_{1}=0.14\cdot 1=0.14

由此，

\sin(3)\approx \mathbf {0.14}

。

这只是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用欧拉法。为此，请用

y(x)

表示导数

f(x,y)={\frac {dy}{dx}}

。

{\frac {d}{dx}}\left[\sin(x)\right]=\cos(x)

我们知道 $\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$ 。由于 $y=\sin(x)$ ,

f(x,y)={\sqrt {1-y^{2}}}

.

我们将使用步长 $\Delta x=\pi -3\approx 0.14$ ，因为这样在没有使用计算器的情况下最容易计算。令 $y_{0}=y(\pi )$ 。

y_{1}=0+0.14f\left(\pi ,0\right)

y_{1}=0.14\cdot 1=0.14

由此，

\sin(3)\approx \mathbf {0.14}

。

36. 使用任何方法近似

{\sqrt {2}}

。如果使用牛顿法或欧拉法，请在最多 THREE (3) 次迭代中完成。

这是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用牛顿-拉夫森法。为了使用该方法，我们需要找到一个方程，使

{\sqrt {2}}

成为该函数的根。一个明显的例子是

f(x)=x^{2}-2

。从那里，

f^{\prime }(x)=2x

。令

x_{0}=1

x_{1}=1-{\frac {-1}{2}}=1.5

x_{2}=1.5-{\frac {0.25}{3}}\approx 1.4167

由此，

{\sqrt {2}}\approx \mathbf {1.4167}

这是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用牛顿-拉夫森法。为了使用该方法，我们需要找到一个方程，使

{\sqrt {2}}

成为该函数的根。一个明显的例子是

f(x)=x^{2}-2

。从那里，

f^{\prime }(x)=2x

。令

x_{0}=1

x_{1}=1-{\frac {-1}{2}}=1.5

x_{2}=1.5-{\frac {0.25}{3}}\approx 1.4167

由此，

{\sqrt {2}}\approx \mathbf {1.4167}

37. 使用任何方法近似

\ln(3)

。如果使用牛顿法或欧拉法，请在最多 THREE (3) 次迭代中完成。

这是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用局部线性近似。我们知道

\ln(e)=1

. 令

f(x)=\ln(x)

;

f^{\prime }(e)={\frac {1}{e}}

. 点

(e,1)

处的切线方程为

y={\frac {1}{e}}\left(x-e\right)+1={\frac {x}{e}}

. 因为

3-e

是一个很小的差异，我们可以假设

y\approx f(x)

. 因此

f(3)\approx {\frac {3}{e}}\approx 1.10

. 因此，使用线性化，

\ln(3)\approx \mathbf {1.10} {\text{ OR }}\mathbf {1.09}

.

这是一个示例解决方案，并不意味着不存在其他方法。我们将使用局部线性近似。我们知道

\ln(e)=1

. 令

f(x)=\ln(x)

;

f^{\prime }(e)={\frac {1}{e}}

. 点

(e,1)

处的切线方程为

y={\frac {1}{e}}\left(x-e\right)+1={\frac {x}{e}}

. 因为

3-e

是一个很小的差异，我们可以假设

y\approx f(x)

. 因此

f(3)\approx {\frac {3}{e}}\approx 1.10

. 因此，使用线性化，

\ln(3)\approx \mathbf {1.10} {\text{ OR }}\mathbf {1.09}

.

深入理解

45. 考虑可微函数 $f(x)$ ，对所有 $x>-2$ 都有效，以及以下的连续函数 $g(x)$ ，其中， $g(x)$ 对所有 $x\geq 1$ 都是线性的，并且对所有 $x\in (-2,1)\cup (1,\infty )$ 都可微，并且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 对所有 $x\geq -2$ 都是连续的。