微积分/微分/微分的定义/解答

1. 求曲线 $y=x^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线的斜率。

函数 $f$ 在 $x_{0}$ 处的斜率的定义是 $\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}}\right]$

代入 $f(x)=x^{2}$ 和 $x_{0}=1$ 得到

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}\left[{\frac {(1+h)^{2}-1}{h}}\right]&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {h^{2}+2h}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {h(h+2)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}h+2\\&=\mathbf {2} \end{aligned}}$

2. 利用导数的定义求函数 $f(x)=2x+3$ 的导数。

${\begin{aligned}f^{'}(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(2(x+\Delta x)+3)-(2x+3)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x+2\Delta x+3-2x-3)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2\Delta x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2\\&=\mathbf {2} \end{aligned}}$

3. 利用导数的定义，求函数 $f(x)=x^{3}$ 的导数。现在尝试 $f(x)=x^{4}$。你能看出规律吗？在下一节中，我们将找到 $f(x)=x^{n}$ 对所有 $n$ 的导数。