微积分/微分/微分定义

什么是微分?

微分是一个找到函数的过程，该函数输出一个变量相对于另一个变量的变化率。

非正式地，我们可以假设我们正在跟踪一辆汽车在一个没有超车道的双车道道路上的位置。假设汽车永远不会驶离道路，我们可以抽象地研究汽车的位置，通过给它分配一个变量，$x$。由于汽车的位置随着时间的推移而变化，我们说$x$取决于时间，或者$x=f(t)$。这告诉我们汽车在每个特定时间的位置。微分给我们一个函数${\frac {dx}{dt}}$，它表示汽车的速度，即其位置相对于时间的变化率。

等效地，微分给我们一个函数，它表示非线性函数图在任何一点的斜率。对于线性函数，形式为$f(x)=ax+b$，$a$是斜率。对于非线性函数，例如$f(x)=3x^{2}$，斜率可能取决于$x$；微分给我们一个函数，它表示这个斜率。

斜率的定义

历史上，对微分的研究的主要动机是切线问题：对于给定的曲线，找到在给定点与曲线相切的直线的斜率。单词tangent来自拉丁词tangens，意思是接触。因此，为了解决切线问题，我们需要找到与给定曲线在给定点“接触”的直线的斜率，或者用现代语言来说，具有相同的斜率。但对于曲线来说，“斜率”到底是什么意思呢？

在某些情况下，解决方案是显而易见的：例如，直线$y=mx+c$是它自己的切线；任何一点的斜率都是$m$。对于抛物线$y=x^{2}$，在点$(0,0)$的斜率是$0$；切线是水平的。

但如何找到，比如，$y=\sin(x)+x^{2}$ 在 $x=1.5$ 处的斜率？ 这通常是一个非平凡的问题，但首先我们将仔细处理直线的斜率。

直线的斜率

三条斜率不同的直线

直线的斜率，也称为直线的梯度，是其倾斜程度的度量。水平的直线斜率为 0，从左下到右上的直线斜率为正，从左上到右下的直线斜率为负。

斜率可以用两种（等效的）方式定义。第一种方式是将斜率表示为直线在水平方向上移动一定距离时上升的距离。我们使用符号 $\Delta$ （读作“delta”）来表示一个量的变化。因此，$x$ 的变化写成 $\Delta x$ 。因此，我们可以将这个斜率定义写成

${\rm {Slope}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

一个例子可以使这个定义更清晰。如果我们在一条直线上有两个点，$P(x_{1},y_{1})$ 和 $Q(x_{2},y_{2})$，从 $P$ 到 $Q$ 的 $x$ 的变化由下式给出

$\Delta x=x_{2}-x_{1}$

同样，从 $P$ 到 $Q$ 的 $y$ 的变化由下式给出

$\Delta y=y_{2}-y_{1}$

这导致了以下非常重要的结果。

过点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的直线的斜率为

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

或者，我们可以使用正切函数按三角函数的方式定义斜率

${\rm {Slope}}=\tan(\alpha )$

其中 $\alpha$ 是从指向右边的水平线到直线的角度，以逆时针方向测量。如果你记得角度的正切是单位圆上 y 坐标与 x 坐标的比率，你应该能够在这里发现等价性。

函数的图形

我们感兴趣的大多数函数的图形都不是直线（尽管它们可以是），而是曲线。我们不能像定义直线斜率那样定义曲线的斜率。为了理解如何在某一点上求曲线的斜率，我们首先需要了解 **切线** 的概念。直观地说，**切线** 是一条在某一点 **恰好** 与曲线相切的直线，使得它们在该点的夹角为 0。考虑以下四条曲线和直线

(i)	(ii)
(iii)	(iv)

1. 直线 $L$ 穿过曲线 $C$ 在 $P$ 点，但不是切线。
2. 直线 $L$ 穿过曲线 $C$ 在 $P$ 点，并且是切线。
3. 直线 $L$ 穿过曲线 $C$ 在两点，但只在 $P$ 点是切线。
4. 有许多直线穿过曲线 $C$ 在 $P$ 点，但没有一条是切线。事实上，这条曲线在 $P$ 点没有切线。

**割线** 是一条穿过曲线上两点的直线。我们可以将切线定义为曲线割线在两点间距离趋于零时的极限。考虑下图。

当距离 $h$ 趋于 0 时，割线变为在 $x_{0}$ 点的切线。我们绘制直线所经过的两点是

$P(x_{0},f(x_{0}))$

以及

$Q(x_{0}+h,f(x_{0}+h))$

割线只是一条直线，我们知道它上面的两个点，所以我们可以找到它的斜率，$m_{h}$，使用之前公式。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

(我们将斜率称为$m_{h}$，因为它可能，而且通常会，取决于$h$。）将直线上的点代入，

$m_{h}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}}$

化简得

$m_{h}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

这个表达式被称为差商。注意$h$ 可以是正的或负的——穿过曲线上的任意两点的割线都是完全有效的——但不能是$0$。

我们给出的切线定义并不严格，因为我们只定义了数字的极限——更确切地说，是输出数字的函数的极限——而不是直线的极限。但我们可以严格地定义一个点处切线的斜率，方法是取上一段中割线的斜率的极限。这样做了之后，我们就可以然后定义切线了。注意，我们不能简单地将$h$ 设置为 0，因为这将意味着 0 除以 0，这将导致一个未定义的结果。相反，我们必须找到上面表达式的极限，当$h$趋于 0 时。

定义：（函数图的斜率）

$f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的斜率是

$\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\right]$

如果这个极限不存在，那么我们说斜率是未定义的。

如果斜率定义了，比如$m$，那么$f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线是方程为

$y-f(x_{0})=m\cdot (x-x_{0})$

最后一个等式只是经过$(x_{0},f(x_{0}))$ 且斜率为 $m$ 的直线的点斜式。

练习

1. 求曲线 $y=x^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线的斜率。

解答

函数在一点处的变化率

考虑 $x$ 方向上的平均速度公式，${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$，其中$\Delta x$ 是时间间隔 $\Delta t$ 内 $x$ 的变化量。这个公式给出了时间段内的平均速度，但假设我们想定义瞬时速度。为此，我们观察了 **时间变化趋近于 0 时的位置变化**。用数学公式表示为：$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$，我们用符号 ${\frac {dx}{dt}}$ 来简写。（这个符号的含义是字母 $d$ 表示变化。）将符号 $d$ 与 $\Delta$ 进行比较。两者都表示两个数字之间的差异，但 $\Delta$ 表示有限差异，而 $d$ 表示无穷小差异。请注意，符号 $dx$ 和 $dt$ 本身没有严格的意义，因为 $\lim _{\Delta t\to 0}\Delta t=0$，我们不能除以 0。

（注意字母 $s$ 通常用来表示距离，这将得出 ${\frac {ds}{dt}}$。字母 $d$ 通常在表示距离时避免使用，因为表达式 ${\frac {dd}{dt}}$ 会造成潜在的混淆。）

导数的定义

你可能已经注意到，我们讨论过的两个操作——计算函数图象切线的斜率和计算函数的瞬时变化率——涉及到完全相同的极限。也就是说，$y=f(x)$ 图象切线的斜率为 ${\frac {dy}{dx}}$。当然，${\frac {dy}{dx}}$ 可以，而且通常情况下，会取决于 $x$，所以我们应该把它看作是 $x$ 的一个函数。我们称这个过程（计算 ${\frac {dy}{dx}}$）为微分。微分得到另一个函数，该函数在任何值 $x$ 的值都是原函数在 $x$ 的斜率。这个函数被称为原函数的导数。

由于许多不同类型的人使用导数，所以存在许多不同的数学符号来表示它们。以下是一些例子：

• $f'(x)$（读作“f 对 x 的导数”）表示 $f(x)$ 的导数，
• $D_{x}[f(x)]$ ,
• $Df(x)$ ,
• ${\frac {dy}{dx}}$ 表示 $y$ 作为 $x$ 的函数的导数，或者
• ${\frac {d}{dx}}{\big [}y{\big ]}$，在某些情况下它更实用。

大多数情况下，括号不是必需的，但如果我们要处理诸如$D(f\cdot g)$ 的情况，其中我们要对两个函数$f$ 和 $g$ 的乘积求导，则括号有助于提高清晰度。

第一种表示法的优点是它明确表明导数是一个函数。也就是说，如果我们要谈论$f(x)$ 在$x=2$ 处的导数，我们可以简单地写成$f'(2)$。

无论如何，以下是形式定义。

定义：（导数）

令$f(x)$ 是一个函数。那么$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ 在此极限存在的地方。在这种情况下，我们说$f$ 在$x$ 处可微，其在$x$ 处的导数为$f'(x)$。

示例

示例 1

$f(x)={\frac {x}{2}}$ 的导数为

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {{\frac {x+\Delta x}{2}}-{\frac {x}{2}}}{\Delta x}}\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {{\frac {x}{2}}+{\frac {\Delta x}{2}}-{\frac {x}{2}}}{\Delta x}}\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\frac {\Delta x}{2}}{\Delta x}}\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta x}{2\Delta x}}\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}$

无论$x$ 是什么。这与导数作为函数斜率的定义是一致的。

示例 2

曲线 $y=3x^{2}$ 在 $(4,48)$ 处的斜率是多少？我们可以通过“困难（且不精确）的方式”，即 *不* 使用微分来解决这个问题，如下所示，使用计算器和给定点上下的小差值。

当 $x=3.999$ 时，$y=47.976003$ 。

当 $x=4.001$ 时，$y=48.024003$ 。

因此，$x$ 的两个值的差为 $\Delta x=0.002$ 。

因此，$y$ 的两个值的差为 $\Delta y=0.048$ 。

因此，曲线在 $x=4$ 处的斜率为 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=24$ 。

但是，为了精确地解决问题，我们计算

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3(4+\Delta x)^{2}-48}{\Delta x}}$	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(4+\Delta x)^{2}-16}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {16+8\Delta x+(\Delta x)^{2}-16}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {8\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}(8+\Delta x)$
	$=3(8)$
	$=24$

我们这次很幸运；我们得到的近似值正好是正确的。但并不总是这样，而且，无论如何，这样我们就不需要计算器了。

通常，$f(x)=3x^{2}$ 的导数是

$f'(x)$	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3(x+\Delta x)^{2}-3x^{2}}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}$
	$=3\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)$
	$=3(2x)$
	$=6x$

示例 3

如果 $f(x)=|x|$ （绝对值函数），那么 $f'(x)={\frac {x}{|x|}}$ ，也可以写成

$f'(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&x<0\\{\rm {undefined}}&x=0\\1&x>0\end{matrix}}\right.$

求这个导数有点复杂，所以我们现在不证明它。

这里，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不光滑（虽然是连续的），因此极限 $\lim _{x\to 0^{+}}f'(x)$ 和 $\lim _{x\to 0^{-}}f'(x)$ （分别从右边和左边逼近 0 的极限）不等于。根据定义，$f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {|\Delta x|}{\Delta x}}$ ，不存在。因此，$f'(0)$ 未定义，因此 $f'(x)$ 在 0 处有一个间断点。这种不可微分的点被称为尖点。函数也可能因为在某一点处趋于无穷大或无限频繁地振荡而不可微分。

理解导数符号

导数符号在数学中是特殊且独特的。初学微分时，最常见的导数符号是莱布尼兹符号，表示为 ${\frac {dy}{dx}}$ 。你可以把它理解为“$y$ 相对于 $x$ 的变化率”。你也可以把它理解为“$y$ 的无穷小值除以 $x$ 的无穷小值”。两种理解方式都是很好的思考方式，但要记住，精确的定义是我们上面给出的那个。通常，在一个方程中，你会看到 ${\frac {d}{dx}}$ ，它的字面意思是“对 x 的导数”。这意味着我们应该对右边写的东西求导；也就是说，${\frac {d}{dx}}(x+2)$ 意味着 ${\frac {dy}{dx}}$ ，其中 $y=x+2$ 。

随着你学习的深入，你会发现我们有时会假装 $dy$ 和 $dx$ 是可以相乘和相除的独立实体，通过写类似于 $dy=x^{4}dx$ 的东西来表示。最终你会看到诸如 ${\frac {dx}{dy}}$ 这样的导数，这仅仅意味着我们函数的输入变量被称为 $y$，而我们的输出变量被称为 $x$ ；有时，我们会写 ${\frac {d}{dy}}$，表示对 $y$ 的导数，无论右边写了什么。一般来说，变量可以是任何东西，比如 ${\frac {d\theta }{dr}}$ 。

以下所有表达式都等效于表示 $y=x^{2}$ 的导数

• ${\frac {dy}{dx}}=2x$
• ${\frac {d}{dx}}x^{2}=2x$
• $dy=2x\,dx$
• $f'(x)=2x$
• $D(f(x))=2x$

练习

2. 使用导数定义求函数 $f(x)=2x+3$ 的导数。

3. 使用导数定义求函数 $f(x)=x^{3}$ 的导数。现在试试 $f(x)=x^{4}$。你能看到规律吗？在下一节中，我们将找到 $f(x)=x^{n}$ 对所有 $n$ 的导数。

4. 文本指出 $|x|$ 在 $x=0$ 处没有定义。使用导数的定义来证明这一点。

5. 在一张坐标纸上绘制 $y=4x^{2}$ 的导数的图形，无需求解 ${\frac {dy}{dx}}$ 。然后，求解 ${\frac {dy}{dx}}$ 并绘制其图形；比较这两个图形。

6. 利用导数的定义证明 $\sin(x)$ 的导数是 $\cos(x)$ 。提示：使用合适的和差化积公式以及 $\lim _{t\to 0}{\frac {\sin(t)}{t}}=1$ 和 $\lim _{t\to 0}{\frac {\cos(t)-1}{t}}=0$ 。

解答

微分法则

对于复杂的函数，微分过程非常繁琐。因此，人们已经开发出了一些微分一般函数的规则，这些规则可以通过少量努力进行证明。一旦证明了足够的规则，微分各种函数就会变得相对容易。一些最简单的规则涉及线性函数的导数。

常数函数的导数

对于任何固定的实数 $c$ ，

${\frac {d}{dx}}[c]=0$

直观理解

函数 $f(x)=c$ 的图像是一条水平线，其斜率恒为 0。因此，可以预期该函数的导数为零，无论 $x$ 和 $c$ 的值是多少。

证明

导数的定义是

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

设 $f(x)=c$ 对所有 $x$ 成立。（也就是说，$f$ 是一个常数函数。）那么 $f(x+\Delta x)=c$ 。所以

${\frac {d}{dx}}[c]=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c-c}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {0}{\Delta x}}$

设 $g(\Delta x)={\frac {0}{\Delta x}}$ 。为了证明 $\lim _{\Delta x\to 0}g(\Delta x)=0$ ，我们需要找到一个正数 $\delta$ ，使得对于任何给定的正数 $\varepsilon$ ，只要 $0<|\Delta x-0|<\delta$ ，则 ${\Big |}g(\Delta x)-0{\Big |}<\varepsilon$ 。但是 ${\Big |}g(\Delta x)-0{\Big |}=0$ ，所以 ${\Big |}g(\Delta x)-0{\Big |}<\varepsilon$ 对于任何 $\delta$ 的选择都成立。

示例

1. ${\frac {d}{dx}}[3]=0$
2. ${\frac {d}{dx}}[z]=0$

请注意，在第二个例子中，$z$ 只是一个常数。

线性函数的导数

对于任何固定的实数 $m$ 和 $c$，

${\frac {d}{dx}}[mx+c]=m$

特殊情况 ${\frac {dx}{dx}}=1$ 显示了 ${\frac {d}{dx}}$ 符号的优点 - 规则直观，可以通过基本代数来理解，但这并不构成证明，并可能导致对 $dx$ 和 $dy$ 的本质是什么的误解。

直观理解

$y=mx+c$ 的图形是一条斜率为 $m$ 的直线。

证明

如果 $f(x)=mx+c$，则 $f(x+\Delta x)=m(x+\Delta x)+c$。所以，

$f'(x)$	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {m(x+\Delta x)+c-mx-c}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {m(x+\Delta x)-mx}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {mx+m\Delta x-mx}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {m\Delta x}{\Delta x}}$
	$=m$

常数倍和加法规则

由于我们已经知道一些非常基本函数的规则，我们希望能够通过将更复杂的函数分解成更简单的函数来求它们的导数。常数倍规则和加法规则是使我们能够做到这一点的两个工具。

常数规则

对于任何固定的实数 $c$ ，

${\frac {d}{dx}}{\big [}c\cdot f(x){\big ]}=c\cdot {\frac {d}{dx}}{\big [}f(x){\big ]}$

原因当然是因为，人们可以在定义中将 $c$ 从分子中因式分解出来，然后从整个极限中因式分解出来。细节留作 练习。

示例

我们已经知道

${\frac {d}{dx}}{\big [}x^{2}{\big ]}=2x$

假设我们要找到 $3x^{2}$ 的导数

${\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}{\big ]}$	$=3{\frac {d}{dx}}{\big [}x^{2}{\big ]}$
	$=3\cdot 2x$
	$=6x$

另一个将函数分解的简单规则是加法规则。

加法和减法规则

${\frac {d}{dx}}{\big [}f(x)\pm g(x){\big ]}={\frac {d}{dx}}{\big [}f(x){\big ]}\pm {\frac {d}{dx}}{\big [}g(x){\big ]}$

证明

从定义

$\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x){\big ]}-{\big [}f(x)\pm g(x){\big ]}}{\Delta x}}\right]$	$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\pm {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\right]$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]\pm \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]$

根据定义，最后这一项是 ${\frac {d}{dx}}\left[f(x)\right]\pm {\frac {d}{dx}}\left[g(x)\right]$

示例

请问 $3x^{2}+5x$ 的导数是多少？

${\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}+5x{\big ]}$	$={\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}+5x{\big ]}$
	$={\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}{\big ]}+{\frac {d}{dx}}{\big [}5x{\big ]}$
	$=6x+{\frac {d}{dx}}{\big [}5x{\big ]}$
	$=6x+5$

这两个规则都起作用的事实，在数学上极其重要，因为它意味着微分是**线性的**。你可以将一个方程分解成多个项，分别求出导数，然后将答案重新组合，不会出现任何奇怪的事情。

现在，我们只需要再了解一点信息，就可以求出任何多项式的导数了。

幂规则

${\frac {d}{dx}}{\big [}x^{n}{\big ]}=nx^{n-1}$

在指数函数和对数函数的导数中，有一个例子可以很好地说明这一点。

例如，在$x^{2}$的情况下，导数是$2x^{1}=2x$，如前所述。该规则的一个特例是${\frac {dx}{dx}}={\frac {dx^{1}}{dx}}=1x^{0}=1$ 。

由于多项式是由单项式相加得到的，因此使用此规则和加法规则可以求出任何多项式的导数。从二项式定理可以推导出一个相对简单的证明。

此规则也适用于分数和负数幂。因此

${\frac {d}{dx}}{\big [}{\sqrt {x}}{\big ]}$	$={\frac {d}{dx}}{\big [}x^{\frac {1}{2}}{\big ]}$
	$={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$
	$={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

多项式的导数

掌握了这些规则后，你就可以求出任何多项式的导数了。我们不写一般公式，而是逐步进行这个过程。

${\frac {d}{dx}}{\big [}6x^{5}+3x^{2}+3x+1{\big ]}$

首先，我们可以使用加法规则将方程分解成多个项

${\frac {d}{dx}}{\big [}6x^{5}{\big ]}+{\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}{\big ]}+{\frac {d}{dx}}{\big [}3x{\big ]}+{\frac {d}{dx}}[1]$

我们可以直接使用线性规则和常数规则来消除一些项

${\frac {d}{dx}}{\big [}6x^{5}{\big ]}+{\frac {d}{dx}}{\big [}3x^{2}{\big ]}+3+0$

现在你可以使用常数乘法规则将常数移到导数之外

$6{\frac {d}{dx}}{\big [}x^{5}{\big ]}+3{\frac {d}{dx}}{\big [}x^{2}{\big ]}+3$

然后使用幂规则处理单个单项式

$6(5x^{4})+3(2x)+3$

然后进行一些代数运算得到最终答案

$30x^{4}+6x+3$

这些不是唯一的微分规则。还有其他更高级的微分规则，将在后面的章节中介绍。

练习

• 求下列方程的导数

7. $f(x)=42$

8. $f(x)=6x+10$

9. $f(x)=2x^{2}+12x+3$

解答