微积分/双曲函数

理论

单位双曲线有一个扇区，其面积为双曲角的一半

双曲函数的自变量称为双曲角。正如圆函数正弦和余弦可以看作是单位圆到轴的投影，双曲函数正弦和余弦可以看作是单位双曲线到轴的投影。

定义

双曲函数的定义类似于三角函数

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

从这些函数定义倒数函数csch，sech，coth

${\rm {csch}}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}$

${\rm {sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}$

$\coth(x)={\frac {1}{\tanh(x)}}$

一些简单的恒等式

$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$

$1-\tanh ^{2}(x)={\rm {sech}}^{2}(x)$

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)$

双曲函数的导数

${\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)$

${\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)$

${\frac {d}{dx}}\tanh(x)={\rm {sech}}^{2}(x)$

${\frac {d}{dx}}{\rm {csch}}(x)=-{\rm {csch}}(x){\rm {coth}}(x)$

${\frac {d}{dx}}{\rm {sech}}(x)=-{\rm {sech}}(x)\tanh(x)$

${\frac {d}{dx}}{\rm {coth}}(x)=-{\rm {csch}}^{2}(x)$

主要双曲函数的主值

对于 sinh 和 tanh 定义主支没有问题，因为它们是单射的。我们为 cosh 选择其中一个主支。

$\sinh :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$\cosh :[0,\infty ]\to [1,\infty ]$

$\tanh :\mathbb {R} \to (-1,1)$

反双曲函数

在上述主值定义下，反函数的定义是直接的

${\rm {arsinh:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }}$

${\rm {arcosh:[1,\infty ]\to [0,\infty ]}}$

${\rm {artanh:(-1,1)\to \mathbb {R} }}$

我们可以定义 ${\rm {arcsch}}$ , ${\rm {arsech}}$ 和 ${\rm {arcoth}}$ 类似地。

我们也可以使用对数函数来写这些反函数，

${\rm {arsinh}}(x)=\ln {\big (}x+{\sqrt {x^{2}+1}}{\big )}$

${\rm {arcosh}}(x)=\ln {\big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\big )}$

${\rm {artanh}}(x)=\ln \left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)$

这些恒等式可以简化一些积分。

反双曲函数的导数

${\frac {d}{dx}}{\rm {arsinh}}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}{\rm {arcosh}}(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ ,\ x>1$

${\frac {d}{dx}}{\rm {artanh}}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\ ,\ |x|<1$

${\frac {d}{dx}}{\rm {arcsch}}(x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}\ ,\ x\neq 0$

${\frac {d}{dx}}{\rm {arsech}}(x)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}\ ,\ 0<x<1$

${\frac {d}{dx}}{\rm {arcoth}}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\ ,\ |x|>1$

超越函数

双曲函数是超越函数的例子——它们不是代数函数。它们包括三角函数、反三角函数、对数函数和指数函数。