微积分/双曲角

通常的做法是将双曲角称为双曲函数的自变量，如双曲正弦 (sinh)、双曲余弦 (cosh) 或双曲正切 (tanh)。那么双曲角问题就被指数函数的使用所回避了。

$e^{x}\ =\ \exp(x)\ =\ \sum _{0}^{\infty }x^{n}/n!,$

以及 $\cosh x={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}),\quad \sinh x={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x}),\quad \tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$

更令人满意的双曲角描述来自于与圆角的类比，圆角即所谓的“普通角”，它在圆上对应360度或2π弧度。两种角度都可以作为由指向圆或双曲线的径向线所包围的区域来发展。

首先考虑一个半径为√2的圆，那么圆的面积为2π，所以对于圆的任何扇形，其面积等于两条边界半径之间的弧度。类似地，双曲线 *xy* = 1 限制了双曲线扇形，而扇形的面积就是双曲角的大小。

当 *p* = *e* 时单位面积，正如欧拉所利用的。

圆的旋转不会改变圆角的大小，双曲角也有类似的不变性。考虑将正方形变换为面积相同的矩形的线性变换。这些变换可以用一个矩阵表示，矩阵的对角线上是倒数。由于双曲线 *xy* = 常数保持不变，因此这种变换是一种“双曲旋转”或“挤压映射”（考虑到正方形到相同面积矩形的性质）。

当考虑双曲角的潜在大小时，类比就失效了。圆角是有界的，而双曲角不是。应该回想一下调和级数，其中各项越来越小，但和却是无界的。双曲线及其渐近线之间的面积是无界的，双曲角也是如此。

双曲角的模糊性源于其起源。这个量本质上是双曲线的求积，直到1647年格雷瓜尔·德·圣-文森特才完成这一工作。这项挑战自亚里士多德写下他的《抛物线的求积》以来已持续了2000年。双曲线的求积本质上是种信念的飞跃，即一个函数可以通过其性质而不是代数表达式来定义。所识别的性质是在挤压下面积保持不变。那么对于一个数字 *p* > 1，双曲线下的面积被称为“*p* 的双曲对数”，后来简称为“自然对数”。一般来说，面积是在 *x* = 1 和 *x* = *p* 之间观察到的，但它显然等于 (1,1) 和 ( *p*, 1/ *p* ) 之间的双曲线扇形：只需加上三角形 {(0,0), (1,0), (1,1)}，然后减去三角形 {(0,0), ( *p*,0), ( *p*, 1/ *p*)}（它们的面积都为二分之一）。

莱昂哈德·欧拉巧妙地发展了这一主题，首先寻找一个单位面积：当 *p* = 2.71828... 时，凹陷的梯形或双曲线扇形恰好具有一个单位面积。这个数字现在简称为 e。一个对角线上有 e 和 1/e 的矩阵将单位扇形变换为另一个扇形，该扇形位于 (e, 1/e) 和 (e², e⁻²) 之间，更细更长（但面积仍然为一个单位）。欧拉的方法使用这个数字作为指数的底数，类似于 10ⁿ 或 2ⁿ。微积分课程中的标准处理使用指数函数的逆函数来定义自然对数。这样就避免了求积，也回避了双曲角。

快度

不同的 *t* 轴代表运动观察者的时间，相应的 *x* 轴是他们的同时性线

对速度的朴素方法没有上限，但宇宙的特征是光速 c：一秒钟一英尺，500 秒钟一个天文单位，或者一年一个光年。这个速度是距离与时间之比很高，但它是有限的。物理学中所有速度 *v* 都位于区间 [−c, c] 内，因此 *v*/c 的值在 [−1, 1] 内。这个区间是双曲正切函数的值域；现代运动学使用 tanh(φ) = *v*/c，其中 φ 代表快度而不是速度。虽然原始速度受 c 限制，但快度是一个双曲角，它是无界的。在狭义相对论中，速度的变化是由双曲旋转完成的。由于这种变换保持了面积，因此不同参考系的快度得到了保留。在物理学教科书中，这种变换被称为洛伦兹变换或参考系的提升。

给定两个快度 –∞ < x,y < ∞，双曲正切的角和公式表示了它们快度之和所产生的速度。

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}.$

假设 *v* = tanh *x* 和 w = tanh *y*（使用以光速为单位表示的速度），相对论中速度之和的公式为

${\frac {v+w}{1+vw}}.$

图中的虚线是时空中的一条光迹。绿色双曲线是从原点开始到未来的一个时间点，取决于速度。蓝色线表示 (−∞, + ∞) 中的零速率，这在双曲旋转的情况下是任意的。因此，在用速率建模速度时，存在着固有的 相对性原理。

分裂复数理论

上一章中的复数 C 通过负一的平方根 i（X² + 1 的根）扩展 R。另一个复平面 D 通过 j（X² − 1 的根）扩展 R。但这个二项式等于 (X + 1)(X – 1)，因此它已经“分裂”了，这与第一个二项式不同，第一个二项式通过因式分解 (X + i)(X − i) 来“分裂”。因此 C 被称为 分裂域，而 D 被称为“分裂复数”，因为它的二项式在 R 中已经被分裂了。

D 中的元素写成 $z=t+xj$，其中规则为 j² = +1。请注意，jz 然后等于 x + t j，因此 j 对 D 的作用是沿直线 x = t 反射平面。z 的共轭为 ${\bar {z}}=t-xj.$

参考上面的 e^x 级数，并注意当插入参数 jx 时，奇数项包含一个 j 因子，而 j 在偶数项中消失。

$\exp(jx)=\cosh x+j\sinh x.$

因此，exp 将 D 中的 j 轴映射到一个双曲线分支。此外，$\exp(j(a+b))=\exp(ja)\exp(jb),$ 因此 exp 是 R 上的加法群到双曲线分支上的乘法群的群同态。实际上，exp(jx) 对双曲线分支的作用对应于上面提到的双曲旋转。

D 中从 0 到 w 和 z 的线在  $z{\bar {w}}+w{\bar {z}}=0.$ 时是双曲正交的。

分裂复平面 D 用于表示一个具有一个空间维度和一个时间维度的世界，其中单位对应于光速，因此对角线 x = t 和 x = − t 表示通过原点的光线轨迹。按照惯例，时间在垂直方向上绘制，对应于此处的 t 轴。然后通过 (1,0) 的双曲线分支 exp(ja) 表示 0 未来发生的事件，每个事件对应于一个速率 a。

这个世界上同时发生的事件的概念用双曲正交来表达：如果 |t| > |x|，那么 z 相对于 0 是一个时间事件，任何与 z 双曲正交的 w 都是与 0 同时发生的事件。

对于实数 s，通过 $z\mapsto e^{sj}z$ 的变换被称为D 由速率 s 增强的变换。

练习

1) 对于 R 中的 a，求   j e^{a j} 的共轭。

2) 证明 e^{a j} 与   j e^{a j} 双曲正交。

3) 绘制一个图，其中原点为 0，轴线通过 1 和 j。此图中的点对应于一个具有时间但只有一个空间轴的世界中的事件。使用上一练习中的分裂复数，说明一个速率，以及一条与 0 同时发生的事件线，该线对应于该速率。

4) 如果 a 和 b 是两个速率，则证明任何增强都会将事件 $e^{aj}\ {\text{and}}\ e^{bj}$ 映射到事件，其速率之差为 b – a。

5) 如果两条线双曲正交，则证明这两条线在增强下的图像也双曲正交。（提示：参见上一章中的练习 3）