微积分/运动学

引言

运动学，或称运动学，是微积分中一个非常相关的主题。

如果 $x$ 是某个运动物体的位移，而 $t$ 是时间，本节使用以下约定

• $x(t)$ 是它的位移函数
• $v(t)=x'(t)$ 是它的 速度 函数
• $a(t)=x''(t)$ 是它的 加速度 函数

微分

平均速度和加速度

平均速度和加速度问题使用速度和加速度的代数定义。

• $v_{\rm {avg}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$
• $a_{\rm {avg}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

示例

示例 1

A particle's position is defined by the equation $x(t)=t^{3}-2t^{2}+t$ . Find the
average velocity over the interval $[2,7]$ .

• 求区间 $[2,7]$ 上的平均速度

$v_{\rm {avg}}$	$={\frac {x(7)-x(2)}{7-2}}$
	$={\frac {252-2}{5}}$
	$=50$

Answer: $v_{\rm {avg}}=50$ .

瞬时速度和加速度

瞬时速度和加速度问题使用速度和加速度的导数定义。

• $v(t)={\frac {dx}{dt}}$
• $a(t)={\frac {dv}{dt}}$

示例

示例 2

A particle moves along a path with a position that can be determined by the function $x(t)=4t^{3}+e^{t}$ . 
Determine the acceleration when $t=3$ .

• 求 $v(t)={\frac {ds}{dt}}$ .

${\frac {ds}{dt}}=12t^{2}+e^{t}$

• 求 $a(t)={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$ .

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=24t+e^{t}$

• 求 $a(3)={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\bigg |}_{t=3}$

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\bigg |}_{t=3}$	$=24(3)+e^{3}$
	$=72+e^{3}$
	$=92.08553692\dots$

Answer: $a(3)=92.08553692\dots$

积分

• $x_{2}-x_{1}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)dt$
• $v_{2}-v_{1}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}a(t)dt$