微积分/多元微积分/链式法则

雅可比矩阵的求解规则

如果f : R^m → Rⁿ，并且h(x) : R^m → R 在 'p' 点可微

• $J_{\mathbf {p} }(\mathbf {f} +\mathbf {g} )=J_{\mathbf {p} }\mathbf {f} +J_{\mathbf {p} }\mathbf {g}$
• $J_{\mathbf {p} }(h\mathbf {f} )=hJ_{\mathbf {p} }\mathbf {f} +\mathbf {f} (\mathbf {p} )J_{\mathbf {p} }h$
• $J_{\mathbf {p} }(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )=\mathbf {g} ^{T}J_{\mathbf {p} }\mathbf {f} +\mathbf {f} ^{T}J_{\mathbf {p} }\mathbf {g}$

重要：确保顺序正确 - 矩阵乘法不满足交换律！

链式法则

多元函数的链式法则如下。对于 f : R^m → Rⁿ 和 g : Rⁿ → R^p，并且 g o f 在 p 点可微，那么雅可比矩阵由下式给出：

$\left(J_{\mathbf {f} (\mathbf {p} )}\mathbf {g} \right)\left(J_{\mathbf {p} }\mathbf {f} \right)$

再次强调，我们有矩阵乘法，所以必须保持这种确切的顺序。按一种顺序进行的组合可能是定义好的，但按另一种顺序可能没有定义。