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极限与连续性

在研究多元函数的导数之前，我们需要先了解多元函数的极限，就像单变量函数的情况一样。

如果我们有一个函数 f : R^m → Rⁿ，我们说 f(x) 当 x 趋近于 a (在 R^m 中) 时趋近于 b (在 Rⁿ 中)，如果对于所有正 ε，都存在一个对应的正数 δ，使得当 |x-a| < δ 且 x ≠ a 时，|f(x)-b| < ε。

这意味着通过使 x 和 a 之间的差越来越小，我们可以使 f(x) 和 b 之间的差尽可能小。

如果上述情况成立，我们说

f(x) 在 a 处有极限 b
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {b}$
f(x) 当 x 趋近于 a 时趋近于 b
f(x) → b 当 x → a

这四个说法是等价的。

由于这几乎是单变量函数极限的相同表达方式，因此单变量函数中的许多极限规则与多元函数的情况相同。

对于 f 和 g，映射 R^m 到 Rⁿ，以及 h(x) 是一个将 R^m 映射到 R 的标量函数，其中

那么

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} +\mathbf {g} )=\mathbf {b} +\mathbf {c}$
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(h\mathbf {f} )=H\mathbf {b}$

因此

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$
$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )=\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

当 H≠0 时

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }({\mathbf {f} \over h})={\mathbf {b} \over H}$

同样，我们可以使用与单变量情况类似的定义来制定多元变量的连续性定义。

如果 f : R^m → Rⁿ，函数 f 在 R^m 中的点 a 处连续，如果 f(a) 被定义且

\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {a} )

就像一维函数一样，如果 f、g 在 p 处都连续，那么 f+g、λf（对于标量 λ）、f·g 和 f×g 也是连续的。如果 φ : R^m → R 在 p 处连续，那么 φf、f/φ 也是连续的，前提是 φ 从未为零。

从这些事实我们还可以得出，如果 A 是一个大小为 n×m 的矩阵，其中 x 在 R^m 中，函数 f(x)=A x 是连续的，因为该函数可以展开成 x₁a₁+...+x_ma_m 的形式，这可以从上面的论点中轻松验证。

如果 **f** : **R**^m → **R**ⁿ 形如 f(x) = (f₁(x),...,f_n(x)，则当其定义域内所有分量函数均为多项式或有理函数时，该函数连续。

最后，如果 f 在 p 处连续，g 在 f(p) 处连续，则 g(f(x)) 在 p 处连续。

需要注意的是，我们可以从 **多个方向** 逼近一个点，因此，我们逼近该点的方向会在我们对极限的评估中起作用。可能存在一个极限在某一个方向上存在，但在另一个方向上不存在。