微积分/多元微积分/偏导数

可微函数

我们将从一点 *p* 的导数的单变量定义开始，即

$\lim _{x\rightarrow p}{f(x)-f(p) \over x-p}=f'(p)$

让我们将上面的公式改为等价形式

$\lim _{x\rightarrow p}{f(x)-f(p)-f'(p)(x-p) \over x-p}=0$

这是在将 f'(p) 提到里面并将它放在一个共同分母上之后得到的。

我们不能除以向量，所以这个定义不能立即扩展到多变量情况。尽管如此，我们不必这样做：我们感兴趣的是两个小距离（大小）的商，而不是它们的其他性质（如符号）。值得注意的是，被忽略的向量的“其他”属性是它的方向。现在我们可以除以向量的绝对值，所以让我们用绝对值来重写这个定义

$\lim _{x\rightarrow p}{\frac {\left|f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)\right|}{\left|x-p\right|}}=0$

上面公式的另一种形式是，令 $h=x-p$ 我们有 $x=p+h$，并且如果 $x\rightarrow p$，那么 $h=x-p\rightarrow 0$，所以

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left|f(p+h)-f(p)-f'(p)h\right|}{\left|h\right|}}=0$,

其中 $h$ 可以被认为是一个“微小变化”。

那么，我们如何在多变量情况下使用这个定义呢？

如果我们将所有变量都切换到向量，并将常量（它在单维中执行线性映射）替换为矩阵（它也表示线性映射），我们得到

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {p} }{|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )-\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )| \over |\mathbf {x} -\mathbf {p} |}=0$

或

$\lim _{\mathbf {h} \rightarrow \mathbf {0} }{|\mathbf {f} (\mathbf {p} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )-\mathbf {A} \mathbf {h} | \over |\mathbf {h} |}=0$

如果此极限对于某个 f : R^m → Rⁿ 存在，并且存在一个线性映射 A : R^m → Rⁿ（用 m×n 矩阵 A 表示），我们将此映射称为导数，并将其记为 D_p f。

关于术语的一点说明 - 在指代求导操作（得到线性映射 A）时，我们写 D_p f，但在指代矩阵 A 本身时，它被称为雅可比矩阵，也记为 J_p f。关于雅可比矩阵的更多内容将在后面介绍。

性质

这种导数公式有许多重要的性质。

仿射近似

如果 f 在 p 处可微，对于接近 p 的 x，|f(x)-(f(p)+A(x-p))| 相对于 |x-p| 很小，这意味着 f(x) 近似等于 f(p)+A(x-p)。

当 g(x) 是线性且 c 是常数时，我们将形如 g(x)+c 的表达式称为仿射表达式。f(p)+A(x-p) 是 f(x) 的仿射近似。

雅可比矩阵和偏导数

函数的雅可比矩阵形式为

$\left(J_{\mathbf {p} }\mathbf {f} \right)_{ij}=\left.{\partial f_{i} \over \partial x_{j}}\right|_{\mathbf {p} }$

对于 f : R^m → Rⁿ，J_p f 是一个 n×m 矩阵。

因此，如果 f 在 p 处可微，则 f 在 p 处的所有偏导数都存在。

然而，一个函数的所有偏导数可能在一个点处存在，而该函数在该点处不可微，因此，在类似于上述情况的情况下，不要混淆导数（线性映射）和雅可比矩阵（矩阵）非常重要。

连续性和可微性

此外，如果所有偏导数都存在，并且在点 p 的某个邻域内是连续的，那么 f 在 p 处是可微的。这意味着对于一个函数 f，其分量函数由连续函数构成（例如有理函数、可微函数或其他函数），f 在 f 定义的任何地方都是可微的。

对于一个在 p 处可微的函数，其所有偏导数都存在并且在 p 的某个邻域内是连续的，我们使用术语“连续可微”。