微积分/参数积分

简介

因为大多数参数方程是以显式形式给出的，所以它们可以像许多其他方程一样积分。积分对于参数方程有很多应用，特别是在运动学和向量微积分中。

${\begin{aligned}x&=\int x'(t)\mathrm {d} t\\y&=\int y'(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}$

因此，以 t 为例，

$y=\int \cos(t)\mathrm {d} t=\sin(t)+C$

弧长

考虑一个由以下定义的函数，

$x=f(t)$

$y=g(t)$

假设 $f$ 在某个区间上递增， $[\alpha ,\beta ]$。回想一下，正如我们在上一章中推导的那样，函数在一个区间上产生的弧的长度， $[\alpha ,\beta ]$，由以下给出，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\mathrm {d} x$

使用莱布尼茨符号可以更好地理解上述公式，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x$

使用链式法则，

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}$

我们就可以重新写 $\mathrm {d} x$，

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

因此， $L$ 变为，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

提取因子 $\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}$，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

由于 $f$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上是递增的，${\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}$，因此我们可以将 $L$ 的最终表达式写成：

$\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

例子

以半径为 $R$ 的圆为例，可以用以下参数方程定义：

$x=R\sin \theta$

$y=R\cos \theta$

例如，我们可以取曲线在区间 $[0,R]$ 上生成的弧的长度。用 $\theta$ 表示，

$x=0\implies \theta =\arcsin \left({\frac {0}{R}}\right)=0$

$x=R\implies \theta =\arcsin \left({\frac {R}{R}}\right)=\arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}$

计算两个方程的导数，

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=R\cos \theta$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=-R\sin \theta$

这意味着弧长由下式给出，

$L=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {(-R\sin \theta )^{2}+R^{2}\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta$

根据毕达哥拉斯恒等式，

$L=R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {d} \theta =R{\frac {\pi }{2}}$

可以使用此结果确定给定半径的圆的周长。因为这是一个“象限”上的弧长，所以可以将 $L$ 乘以 4 来推导出半径为 $R$ 的圆的周长为 $2\pi R$。