微积分/参数微分

参数系统的导数

就像我们能够对 $x$ 的函数进行微分，我们也能够对 $x$ 和 $y$ 进行微分，它们是 $t$ 的函数。考虑

${\begin{aligned}x&=\sin(t)\\y&=t\end{aligned}}$

我们将找到 $x$ 关于 $t$ 的导数，以及 $y$ 关于 $t$ 

${\begin{aligned}x'&=\cos(t)\\y'&=1\end{aligned}}$

一般来说，如果

${\begin{aligned}x&=x(t)\\y&=y(t)\end{aligned}}$

那么

${\begin{aligned}x'&=x'(t)\\y'&=y'(t)\end{aligned}}$

就这么简单。

这个过程适用于任何数量的变量。

参数方程的斜率

在上述过程中，$x'$ 仅告诉我们 $x$ 变化的速率，而不是 $y$ 的速率，反之亦然。两者都不是斜率。

为了找到斜率，我们需要类似于 ${\frac {dy}{dx}}$ 的形式。

我们可以通过简单的代数运算来发现一个方法。

${\frac {y'}{x'}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}$

因此，对于第 1 节中的示例，在任何时间 $t$ 

${\frac {1}{\cos(t)}}=\sec(t)$

为了找到一条垂直切线，将水平变化，或 $x'$ ，设为 0 并求解。

为了找到一条水平切线，将垂直变化，或 $y'$ ，设为 0 并求解。

如果在某个时间点 $x',y'$ 都为 0，那么该点被称为奇点。

参数方程的凹凸性

求解参数方程的二阶导数可能比乍一看复杂得多。

当你对 ${\frac {dy}{dx}}$ 进行求导并以 $t$ 表示时，你得到的是 ${\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}$ 

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {dy}{dx}}\right]={\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}$ .

通过将此表达式乘以 ${\frac {dt}{dx}}$ ，我们能够求解参数方程的二阶导数。

${\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}\times {\frac {dt}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ .

因此，参数方程的凹凸性可以描述为

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {dy}{dx}}\right]\times {\frac {dt}{dx}}$

因此，对于第 1 节和第 2 节中的示例，在任意时间 $t$ 

${\frac {d}{dt}}[\csc(t)]\times \cos(t)=-\csc ^{2}(t)\times \cos(t)$