微积分/相关变化率/解答

1. 一个球形气球以 $100ft^{3}/min$ 的速度膨胀。假设膨胀速率保持恒定，当气球的半径为 $4ft$ 时，气球的半径以多快的速度增加？

已知

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
${\dot {V}}=100$
$r=4$
求时间导数
${\dot {V}}=4\pi r^{2}{\dot {r}}$
求解 ${\dot {r}}$
${\dot {r}}={\frac {\dot {V}}{4\pi r^{2}}}$
代入已知值

${\dot {r}}={\frac {100}{4\pi 4^{2}}}=\mathbf {{\frac {25}{16\pi }}{\frac {ft}{min}}}$

2. 水从一个锥形水库（顶点朝下）中抽取，水库的直径为 $10ft$，深度为 $10ft$，以恒定速率 $3ft^{3}/min$ 抽取。当水深为 $6ft$ 时，水位下降速度有多快？

已知

$h=2r$
$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi ({\frac {h}{2}})^{2}h={\frac {1}{12}}\pi h^{3}$
${\dot {V}}=3$
$h=6$
求时间导数
${\dot {V}}={\frac {1}{4}}\pi h^{2}{\dot {h}}$
求解 ${\dot {h}}$
${\dot {h}}={\frac {4{\dot {V}}}{\pi h^{2}}}$
代入已知值

${\dot {h}}={\frac {(4)(3)}{\pi 6^{2}}}=\mathbf {{\frac {1}{3\pi }}{\frac {ft}{min}}}$

3. 一艘船通过绳索被拉到码头，绳索一端连接到船头，另一端绕在一个直径为 $2ft$ 的绞盘上。如果绞盘以 $2rpm$ 的恒定速率旋转，船以多快的速度向码头移动？

令 $R$ 为旋转的圈数， $s$ 为船向码头移动的距离。

已知
${\frac {R}{s}}={\frac {1}{2\pi r}}$（每次旋转都会在 s 上增加一个周长距离）
${\dot {R}}=2$
$r=1$
求解 $s$
$s=2\pi rR$
求时间导数
${\dot {s}}=2\pi r{\dot {R}}$
代入已知值

${\dot {s}}=2\pi (1)(2)=\mathbf {4\pi {\frac {ft}{min}}}$

4. 在时间 $t=0$，一个泵开始以 $e^{-t}$ 立方米每秒的速率填充半径为 1 米的圆柱形水库。在什么时候液体高度以 0.001 米每秒的速度上升？