微积分/相关变化率

简介

导数的一个有用应用是作为计算相关变化率的辅助工具。什么是相关变化率？在以下示例中的每个案例中，我们计算的相关变化率是关于某个值的导数。我们根据某个已知量的变化率来计算这个导数。给定一个量变化的速率，要求我们找到与其相关的另一个值的速率。

如何解决

为了完成相关变化率问题，应该按照以下步骤进行。

1. 写出所有相关的公式和有关问题的信息。
   • 问题应该有一个你“控制”的变量（即你了解其值和变化率），以及一个你想找到其相关变化率的变量。
   • 通常，相关变化率问题要求关于时间的变化率。如果你的方程式看起来与时间没有关系，不要惊慌！这将在稍后处理。
2. 将公式组合在一起，使你想找到其相关变化率的变量位于方程式的一侧，所有其他变量位于另一侧。
3. 对方程式关于时间进行求导。任何不是简单常数的其他变量（例如 $\pi$) 也应该进行求导。注意！ 通常应该使用链式法则。
4. 你已经求导的其他变量应该在问题中给出，或者应该单独计算。无论如何，代入已知信息并简化。
5. 你得到的这个值就是你的答案。

解决相关变化率问题的方法与优化问题惊人地相似，只是主要变量不需要设置为 0（它应该被找到），并且优化问题算法中的额外变量在这种情况下的确是变量，在求导时应该将其视为变量而不是常数。

符号

牛顿的点符号用于表示变量关于时间的导数。也就是说，如果 $f$ 是一个依赖时间的量，那么 ${\dot {f}}={\frac {df}{dt}}$，其中 $t$ 表示时间。这种符号是关于时间导数经常使用的场合的一个有用的缩写，比如相关变化率。

例子

示例 1

一个圆锥形容器正在注水。求一个公式，该公式可以根据水的注水速率和圆锥形的尺寸找到水的注水速率。

• 写出所有相关的公式或信息片段。

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

• 对方程式关于时间求导。记住使用链式法则和乘积法则。

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

${\dot {V}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}{\dot {h}}+2rh{\dot {r}}\right)$

答案：${\dot {V}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}{\dot {h}}+2rh{\dot {r}}\right)$

示例 2

一个球形的热气球正在充气。体积以每分钟 2 立方英尺的速度变化。当半径等于 2 英尺时，半径关于时间的变化率是多少？

• 写出所有相关的公式和信息片段。

$V_{sphere}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

${\dot {V}}=2$

$r=2$

• 对体积方程两边关于时间求导。

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

${\dot {V}}$	$={\frac {4}{3}}3\pi r^{2}{\dot {r}}$
	$=4\pi r^{2}{\dot {r}}$

• 求解 ${\dot {r}}$ 。

${\dot {r}}={\frac {\dot {V}}{4\pi r^{2}}}$

• 代入已知信息。

${\dot {r}}={\frac {2}{16\pi }}$

答案：${\dot {r}}={\frac {1}{8\pi }}$ 英尺/分钟。

示例 3

一架飞机试图将一个箱子投放到一栋房屋上。房屋在水平距离上是 300 英尺，在垂直距离上是 400 英尺。水平距离相对于时间的变化率与垂直距离相对于时间的变化率相同。在那一刻，箱子和房屋之间的距离是如何随时间变化的？水平方向相对于时间的变化率是 -50 英尺/秒。

注意：由于垂直距离是向下的，所以 y 的变化率是负的。同样，水平距离也在减小，因此它也是负的（它越来越近）。

描述飞机运动的水平和垂直关系的最简单方法是毕达哥拉斯定理。

• 写出所有相关的公式和信息片段。

$x^{2}+y^{2}=s^{2}$ （其中 *s* 是飞机和房屋之间的距离）

$x=300$

$y=400$

$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {300^{2}+400^{2}}}=500$

${\dot {x}}={\dot {y}}=-50$

• 对距离公式的两边关于时间求导。

$x^{2}+y^{2}=s^{2}$

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=2s{\dot {s}}$

• 求解 ${\dot {s}}$.

${\dot {s}}$	$={\frac {2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}}{2s}}$
	$={\frac {x{\dot {x}}+y{\dot {y}}}{s}}$

• 代入已知信息

${\dot {s}}$	$={\frac {(300)(-50)+(400)(-50)}{(500)}}$
	$={\frac {-35000}{500}}$
	$=-70$ 英尺/秒

答案: ${\dot {s}}=-70$ 英尺/秒。

例 4

沙子以每分钟 10 立方英尺的速度落到一个圆锥形沙堆上。沙堆底部的半径始终是其高度的 1/2。当沙堆深 5 英尺时，沙堆的高度增长速度是多少？

• 写下所有相关的公式和信息。

$V={\frac {\pi }{3}}r^{2}h$

${\dot {V}}=10$

$r={\frac {h}{2}}$

$h=5$

将 $r={\frac {h}{2}}$ 代入体积公式。

$V$	$={\frac {\pi }{3}}r^{2}h$
	$={\frac {\pi }{3}}h\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)$
	$={\frac {\pi }{12}}h^{3}$

• 对体积方程关于时间求导。

$V={\frac {\pi }{12}}h^{3}$

${\dot {V}}={\frac {\pi }{4}}h^{2}{\dot {h}}$

• 求解 ${\dot {h}}$ 。

${\dot {h}}={\frac {4}{\pi h^{2}}}{\dot {V}}$

• 代入已知信息并化简。

${\dot {h}}$	$={\frac {4}{\pi (5)^{2}}}10$
	$={\frac {8}{5\pi }}$ 英尺/分钟

答案：${\dot {h}}={\frac {8}{5\pi }}$ 英尺/分钟。

例 5

一根 10 英尺长的梯子靠在垂直的墙壁上。梯子的底部以每秒 2 英尺的恒定速度从墙上拉开。当梯子距离墙 8 英尺时，梯子的顶部沿墙下滑的速度是多少？

• 写出所有相关的公式和信息。

使用勾股定理来描述梯子的运动。

$x^{2}+y^{2}=l^{2}$ （其中 l 是梯子的长度）

$l=10$

${\dot {x}}=2$

$x=8$

$y={\sqrt {l^{2}-x^{2}}}={\sqrt {100-64}}={\sqrt {36}}=6$

• 对该方程关于时间求导。

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0$ ($l$ 是常数，所以 ${\frac {dl^{2}}{dt}}=0$ 。)

• 求解 ${\dot {y}}$ 。

$2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0$

$2y{\dot {y}}=-2x{\dot {x}}$

${\dot {y}}=-{\frac {x}{y}}{\dot {x}}$

• 代入已知信息并化简。

${\dot {y}}$	$=\left(-{\frac {8}{6}}\right)(2)$
	$=-{\frac {8}{3}}$ 英尺/秒

答案：${\dot {y}}=-{\frac {8}{3}}$ 英尺/秒。

练习

1. 一个球形气球以 $100ft^{3}/min$ 的速率膨胀。 假设膨胀速率保持恒定，那么当半径为 $4ft$ 时，气球的半径以多快的速度增加？

2. 水从一个圆锥形水库（顶点朝下）中抽出，水库直径为 $10ft$，深度为 $10ft$，以恒定速率 $3ft^{3}/min$ 抽出。当水深为 $6ft$ 时，水位下降的速度是多少？

3. 一艘船通过一根绳子被拉到码头，绳子的一端连接到船头，另一端绕在一个直径为 $2ft$ 的绞盘上。如果绞盘以恒定速度 $2rpm$ 转动，船向码头移动的速度是多少？

4. 在时间 $t=0$，一个泵开始以 $e^{-t}$ 立方米/秒的速率填充一个半径为 1 米的圆柱形储水池。液体高度以 0.001 米/秒的速度增加是在什么时候？