微积分/求和符号

求和符号允许包含求和的表达式以简单紧凑的方式表示。希腊字母大写西格玛 Σ 用于表示一组数字的总和。

示例

$\sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}$

令 $f$ 是一个函数，且 $M,N$ 是整数，其中 $N<M$ 。那么

$\sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)$ .

我们说 $N$ 是求和的下限，而 $M$ 是求和的上限。

我们可以用任何其他变量替换字母 $i$ 。因此，$i$ 被称为 *哑变量*。所以...

$\sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^{4}\alpha =1+2+3+4$

按照惯例，我们使用字母 $i$ , $j$ , $k$ , $m$ 来表示哑变量。

示例

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5$

这里， *哑变量* 是 $i$ ，求和的 *下限* 是 1，而 *上限* 是 5。

示例

有时，你会看到没有指定哑变量的求和符号，例如：

$\sum _{1}^{4}i^{3}=100$

在这种情况下，正确的哑变量应该从上下文中明确。

您也可能会看到限制未指定的案例。同样，也必须从上下文中推断出来。

常见求和

$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R}$

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]$