微积分/表面积

假设我们给定一个函数$f$，我们想要计算函数$f$绕给定直线旋转得到的表面积。旋转体表面积的计算与弧长的计算有关。

如果函数$f$是一条直线，则可以使用其他方法，例如圆柱体和圆台的表面积公式。但是，如果$f$不是线性的，则必须使用积分技术。

回顾圆台的侧面积公式

$A=2\pi rl$

其中$r$是平均半径，$l$是圆台的母线。

对于$y=f(x)$和$a\leq x\leq b$，我们将$[a,b]$分成宽度相等的子区间$\delta x$，端点为$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$。我们将每个点$y_{i}=f(x_{i})$映射到一个宽度为Δx，侧面积为$A_{i}$的圆台。

我们可以用以下和式估计旋转体的表面积

$A=\sum _{i=0}^{n}A_{i}$

当我们将$[a,b]$分成越来越小的部分时，该估计值会给出表面积的更准确的值。

定义（旋转曲面）

曲线$y=f(x)$绕某直线旋转一周，当$a\leq x\leq b$时，其旋转体的表面积定义为

$A=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}A_{i}$

表面积公式

假设$f$是区间$[a,b]$上的连续函数，并且$r(x)$表示$f(x)$到旋转轴的距离。则绕某直线旋转的侧表面积由下式给出：

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx$

用莱布尼茨记号表示为

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+\left({\tfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

证明

$A$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}A_{i}$
	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}2\pi r_{i}l_{i}$
	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}l_{i}$

当$n\to \infty$且$\Delta x\to 0$时，我们知道两件事：

1. 每个圆台的平均半径$r_{i}$接近一个单一值

2. 每个圆锥台的斜高$l_{i}$ 等于弧长的一个无穷小线段。

根据上一节讨论的弧长公式，我们知道

$l_{i}={\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}$

因此

$A$	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}l_{i}$
	$=2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}\Delta x$

根据积分的定义$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x_{i}$，我们可以将求和运算简化为积分。

$A=2\pi \int _{a}^{b}r(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

或者如果$f$ 是关于$y$ 在区间$[c,d]$ 上

$A=2\pi \int _{c}^{d}r(y){\sqrt {1+f'(y)^{2}}}dy$