微积分/弧长

假设我们给定一个在区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f$，我们想要计算由 $f(x)$ 图像从 $x=a$ 到 $x=b$ 所绘制的曲线的长度。如果该图是一个直线，这将很容易 - 直线长度的公式由毕达哥拉斯定理给出。并且如果该图是一个分段线性函数，我们可以通过将每一段的长度加起来来计算长度。

问题是大多数图不是线性的。尽管如此，我们可以用直线逼近曲线来估计曲线的长度。假设曲线 $C$ 由公式 $y=f(x)$ 给出，其中 $a\leq x\leq b$。我们将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个子区间，每个子区间的宽度为 $\Delta x$，端点为 $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$。现在令 $y_{i}=f(x_{i})$，因此 $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ 是曲线上位于 $x_{i}$ 上方的点。连接 $P_{i}$ 和 $P_{i+1}$ 的直线的长度是

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}={\sqrt {(y_{i+1}-y_{i})^{2}+(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$

因此，曲线 $C$ 长度的估计值是以下总和：

$\sum _{i=0}^{n-1}{\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$

当我们将区间 $[a,b]$ 分成更多部分时，这将为 $C$ 的长度提供更好的估计。事实上，我们将此作为定义。

曲线的长度

曲线 $y=f(x)$ 在 $a\leq x\leq b$ 上的长度定义为：

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\bigl |}P_{i+1}P_{i}{\bigr |}$

弧长公式

假设 $f'$ 在 $[a,b]$ 上是连续的。那么，由 $y=f(x)$ 给出的曲线在 $a$ 和 $b$ 之间的长度由以下公式给出：

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

用莱布尼兹记号表示：

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\tfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

证明： 考虑 $y_{i+1}-y_{i}=f(x_{i+1})-f(x_{i})$ 。根据均值定理，存在一个点$z_{i}$ 在$(x_{i+1},x_{i})$ 中，使得

$y_{i+1}-y_{i}=f(x_{i+1})-f(x_{i})=f'(z_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

因此

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+f'(z_{i})^{2}(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {{\bigl (}1+f'(z_{i})^{2}{\bigr )}(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {1+f'(z_{i})^{2}}}\Delta x$

将此代入$C$ 长度的定义得到

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+f'(z_{i})^{2}}}\Delta x$

现在，这是函数 $g(x)={\sqrt {1+f'(x)^{2}}}$ 在 $a$ 和 $b$ 之间的积分的定义（请注意 $g$ 是连续的，因为我们假设 $f'$ 是连续的）。因此

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

如前所述。

示例：曲线 $y=2x$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的长度 为了检查公式的正确性，让我们计算曲线 $y=2x$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的长度。首先，让我们使用勾股定理来找到答案。 $P_{0}=(0,0)$ 和 $P_{1}=(1,2)$ 因此，曲线的长度，$s$，是 $s={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}$ 现在让我们使用公式 $s=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+\left({\tfrac {d(2x)}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+2^{2}}}\,dx={\sqrt {5}}x{\bigg |}_{0}^{1}={\sqrt {5}}$

练习

1. 求曲线 $y=x{\sqrt {x}}$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧长。

2. 求曲线 $y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧长。

参数方程曲线弧长

对于参数方程曲线，即由 $x=f(t)$ 和 $y=g(t)$ 定义的曲线，公式略有不同

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt$

证明： 证明类似于之前的证明：考虑 $y_{i+1}-y_{i}=g(t_{i+1})-g(t_{i})$ 和 $x_{i+1}-x_{i}=f(t_{i+1})-f(t_{i})$ 。

根据均值定理，在 $(t_{i+1},t_{i})$ 中存在点 $c_{i}$ 和 $d_{i}$ 使得

$y_{i+1}-y_{i}=g(t_{i+1})-g(t_{i})=g'(c_{i})(t_{i+1}-t_{i})$

和

$x_{i+1}-x_{i}=f(t_{i+1})-f(t_{i})=f'(d_{i})(t_{i+1}-t_{i})$

因此

${\bigl |}P_{i}P_{i+1}{\bigr |}$	$={\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {f'(d_{i})^{2}(t_{i+1}-t_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}(t_{i+1}-t_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {{\bigl (}f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}{\bigr )}(t_{i+1}-t_{i})^{2}}}$
	$={\sqrt {f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}}}\Delta t$

将此代入曲线的长度定义得出

$L=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}{\sqrt {f'(d_{i})^{2}+g'(c_{i})^{2}}}\Delta t$

这等价于

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt$

练习

3. 求由参数方程 $x(t)=R\cos(t)$ , $y(t)=R\sin(t)$ 给出的圆的周长，其中 $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ .

4. 求由参数方程 $x(t)=R{\bigl (}t-\sin(t){\bigr )}$ , $y(t)=R{\bigl (}1-\cos(t){\bigr )}$ 给出的 摆线 的一个拱的长度，其中 $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 。