微积分/常微分方程组

我们已经研究了只有一个微分方程的情况，并找到了几种方法来帮助我们找到这些方程的解。但是，如果我们有两个或多个相互依赖的微分方程会发生什么？例如，考虑以下情况：

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+x(t)t$

以及

$D_{t}y(t)=x(t)+y(t)$

这样的微分方程组被称为耦合的。本节将探讨此类常微分方程组。

一阶系统

一般形式的微分方程组可以写成

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$

除了用向量表示方程组外，我们还可以将每个方程显式地写成如下形式：

$D_{t}x_{1}=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

$\vdots \!\;$

$D_{t}x_{i}=F_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

如果我们有最开始的系统，我们可以将其写成

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)$

其中

$\mathbf {x} =(x(t),y(t))=(x,y)$

以及

$\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)=(3y^{2}+xt,x+y)$

或者像上面那样写出每个方程。

为什么这些形式很重要？通常，这源于一个单一的、更高阶的微分方程，该方程被转换为系统中的更简单形式。例如，对于同一个例子，

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+x(t)t$

$D_{t}y(t)=x(t)+y(t)$

我们可以通过简单的替换将其写成一个更高阶的微分方程。

$D_{t}y(t)-y(t)=x(t)$

然后

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+(D_{t}y(t)-y(t))t$

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+tD_{t}y(t)-ty(t)$

现在注意到，由于第一个分量依赖于t，所以系统的向量形式依赖于t。

$\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)=(3y^{2}+xt,x+y)$

但是，如果我们有

$\mathbf {H} (\mathbf {x} )=(3y^{2}+x,x+y)$

请注意，向量场不再依赖于t。我们将此类系统称为自治系统。它们以以下形式出现

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {H} (\mathbf {x} )$

我们可以通过简单的替换（涉及t，例如y=(x, t)）在自治系统和非自治系统之间进行转换，以得到一个系统

$D_{t}\mathbf {y} =(\mathbf {F} (\mathbf {y} ),1)=(\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t),1)$

以向量形式，我们可能能够以线性方式分离F，得到如下形式

$\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=A(t)\mathbf {x} +\mathbf {b} (t)$

其中A(t) 是一个矩阵，b 是一个向量。显然，矩阵可以包含函数或常数，具体取决于矩阵是否依赖于t。