微积分/实数

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域

你可能已经熟悉了你过去经验中的许多不同的数字集合。一些常用的数字集合是

自然数，通常用 $\mathbb {N}$ 表示，是数字 $1,2,3,\ldots$
整数，通常用 $\mathbb {Z}$ 表示，是正负自然数： $\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$
有理数，用 $\mathbb {Q}$ 表示，是整数的比值（不包括除以零）： $\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$
实数，用 $\mathbb {R}$ 表示，将在下面构造和讨论。

注意，不同的数字集合具有不同的性质。例如，在整数集合中，任何数字总是有一个加法逆元：对于任何整数 $x$ ，存在另一个整数 $t$ 使得 $x+t=0$ 这应该并不令人惊讶：从基本算术我们知道 $t=-x$ 。试着证明，并非所有自然数都有加法逆元。

在数学中，注意这些数字集合的每个重要性质是有用的。有理数，在构造实数中将是主要关注的，具有以下性质

存在一个数字 0，使得对于任何其他数字

a

，

0+a=a+0=a

对于任何两个数字

a,b

，

a+b

是另一个数字

对于任何三个数字 a,b 和 c，a+(b+c)=(a+b)+c

对于任何数字 a，存在另一个数字 -a，使得 a+(-a)=0

对于任何两个数字 a 和 b，a+b=b+a

对于任何两个数字 a 和 b，a*b 是另一个数字

存在一个数字 1，使得对于任何数字 a，a*1=1*a=a

对于任何两个数字 a 和 b，a*b=b*a

对于任何三个数字 a,b 和 c，a(bc)=(ab)c

对于任意三个数 *a,b* 和 *c*, *a*(*b*+*c*)=*ab*+*ac*

对于每个数 *a*，都存在另一个数 *a*^-1 使得 aa^-1=1

如上所述，这些可能看起来很吓人。然而，这些性质不过是从算术中得出的基本事实。任何满足上述性质的数字集合（以及这些数字上的运算 + 和 *）被称为 *域*。上述性质通常称为 *域公理*。作为练习，确定整数是否构成一个域，如果不是，它们违反了哪些域公理。

尽管域公理的列表相当广泛，但它并没有完全探讨有理数的性质。有理数也具有 *序*。*全序* 必须满足几个性质：对于任意数 *a*, *b* 和 *c*

如果 *a* ≤ *b* 且 *b* ≤ *a* 则 *a* = *b*（反对称性）

如果 *a* ≤ *b* 且 *b* ≤ *c* 则 *a* ≤ *c*（传递性）

*a* ≤ *b* 或 *b* ≤ *a*（完全性）

为了熟悉这些性质，尝试证明 (a) 自然数、整数和有理数都是全序的，更一般地 (b) 说服自己任何有理数集合都是全序的（注意整数和自然数都是有理数集合）。

最后，认识有理数的另一个特征是有用的是：每个有理数都有一个要么是循环的要么是有限的十进制展开式。这个事实的证明被省略了，但是它遵循了每个有理数作为分数的定义。当执行长除法时，任何阶段的余数只能取小于分母的正整数，这些正整数的数量是有限的。

构造实数

构造实数还需要两个额外的工具：上界和最小上界。**定义** 一个数集 *E* 是有上界的，如果存在一个数 *m* 使得对于所有 *E* 中的 *x*，*x≤m*。任何满足此条件的数 *m* 称为集合 *E* 的上界。

**定义** 如果一个数集 *E* 是有上界的，并且 *m* 是 *E* 的上界，而 *E* 的所有其他上界都大于 *m*，则我们称 *m* 为 *E* 的 *最小上界* 或 *上确界*，记为 sup *E*。

许多有理数集合没有一个也是有理数的最小上界，尽管有些有。假设数字 5 和 10/3 一起构成 *E*。数字 5 不仅是 *E* 的上界，它也是最小上界。一般来说，存在许多上界（例如 12 是上述集合的上界），但最多只能有一个最小上界。

考虑数集 $\{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\dots \}$ ：您可能认出这些小数是圆周率的前几位数字。由于每个小数都是有限的，因此此集合中的每个数字都是有理数。此集合有无限多个上界。例如，数字 4 是一个上界。没有最小上界，至少在有理数中没有。尝试通过尝试构造这样一个最小上界来说服自己这个事实：(a) 为什么圆周率不能作为最小上界（提示：圆周率没有循环或有限的十进制展开式），(b) 如果提议的上确界与圆周率在某一位小数后相同，然后是零，会发生什么 (c) 如果提议的上确界大于圆周率，您能找到一个更小的上界来解决这个问题吗？

事实上，有无限多个有理数集合没有有理数最小上界。我们定义一个实数为任何是某个有理数集合的最小上界的数。

实数的性质

实数是全序的。

对于所有实数； *a*, *b*, *c*

要么 *b>a*, *b=a*, 要么 *b<a*。

如果 *a<b* 且 *b<c* 则 *a<c*

另外

*b>a* 意味着 *b+c>a+c*

*b>a* 且 *c>0* 意味着 *bc>ac*

*b>a* 意味着 *-a>-b*

上界公理

每个非空的、有上界的实数集都具有上确界。

上界公理对于微积分是必要的。它对于有理数不成立。

我们也可以用相同的方式定义下界。

**定义** 一个集合 *E* 是有下界的，如果存在一个实数 *M* 使得对于所有 *E* 中的 *x*，*x≥M*。任何满足此条件的 *M* 称为集合 *E* 的下界。

**定义** 如果一个集合 *E* 是有下界的，*M* 是 *E* 的下界，而 *E* 的所有其他下界都小于 *M*，则我们称 *M* 为 *E* 的 *最大下界* 或 *下确界*，记为 inf *E*。

有限集的上确界和下确界与其最大值和最小值相同。

定理

每个非空的、有下界的实数集都具有下确界。

证明

设 *E* 是一个非空的、有下界的实数集

设 *L* 是 *E* 的所有下界的集合

*L* 不为空，根据有下界的定义

*E* 中的每个元素都是集合 *L* 的上界，根据定义

因此，*L* 是一个非空的、有上界的集合

*L* 具有上确界，根据上界公理

1/ *E* 的每个下界都 ≤sup *L*，根据上确界的定义

假设存在一个 *E* 中的 *e* 使得 e<sup *L*

*L* 中的每个元素都 ≤e，根据定义

因此 *e* 是 *L* 的上界，且 e<sup *L*

这与上确界的定义相矛盾，因此不存在这样的 *e*。

如果 *e*∈*E* 则 e≥sup *L*，通过反证法证明

2/ 因此，sup *L* 是 *E* 的下界

**inf *E* 存在，且等于 sup *L* **，通过将下确界的定义与第 1 行和第 2 行进行比较

界和不等式，定理： $A\subseteq B\Rightarrow \sup A\leq \sup B$ $A\subseteq B\Rightarrow \inf A\geq \inf B$ $\sup A\cup B=\max(\sup A,\sup B)$ $\inf A\cup B=\min(\inf A,\inf B)$