微积分/向量函数

简介

如果我们有一个函数 ${\vec {f}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$，我们说${\vec {f}}$ 的像（集合 ${\Big \{}{\vec {f}}(t){\Big |}t\in \mathbb {R} {\Big \}}$ - 或者 $\mathbb {R}$ 的某个子集）是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的曲线，而 ${\vec {f}}$ 是它的参数化。

参数化不一定是唯一的 - 例如，${\vec {f}}(t)=(\cos(t),\sin(t))$ 其中 $t\in [0,2\pi )$ 是单位圆的一种参数化，而 ${\vec {g}}(t)=(\cos(at),\sin(at))$ 其中 $t\in \left[0,{\frac {2\pi }{a}}\right)$ 是该圆的整个参数化族。

碰撞点和交点

假设我们有两条不同的曲线。考虑以下几点可能很重要：

• 两条曲线共有的点 - 它们相交的地方
• 在相同 $t$ 值下发生的交点 - 它们碰撞的地方。

交点

首先，我们有两个参数化 ${\vec {f}}(t)$ 和 ${\vec {g}}(t)$，我们想要找出它们何时相交，这意味着我们想知道每个参数化的函数值何时相等。这意味着我们需要解

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(s)$

因为我们正在寻找与它们相交时间无关的函数值。

例如，如果我们有 ${\vec {f}}(t)=(t,3t)$ 和 ${\vec {g}}(t)=(t,t^{2})$，我们想要找到交点

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(s)$

$(t,3t)=(s,s^{2})$

$t=s\ ,\ 3t=s^{2}$

解为 $(t,s)=(0,0)\ ,\ (3,9)$

所以，这两条曲线在点 $(0,0)\ ,\ (3,9)$ 处相交。

碰撞点

但是，如果我们想知道这些点何时“碰撞”，与 ${\vec {f}}(t)$ 和 ${\vec {g}}(t)$，我们需要知道何时函数值和时间都相同，所以我们需要解

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(t)$

例如，使用与之前相同的函数，${\vec {f}}(t)=(t,3t)$ 和 ${\vec {g}}(t)=(t,t^{2})$， 我们想要找到碰撞点。

${\vec {f}}(t)={\vec {g}}(t)$

$(t,3t)=(t,t^{2})$

$t=t\ ,\ 3t=t^{2}$

这给出了解 $t=0,3$。因此碰撞点是 $(0,0)\ ,\ (3,9)$。

我们可能想要这样做来实际模拟物理问题，例如弹道学。

交叉向量函数

我们也可以使用向量函数来表示两个曲面的交线。例如，我们想知道圆柱体 $x^{2}+y^{2}=1$ 和平面 $y+z=2$ 的交线。

向量函数依赖于参数化，因此我们可以将圆柱体的方程改写为： $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$， 其中 $x=\cos t,y=\sin t$。

从平面的方程，我们知道 $z=2-y=2-\sin t$。因此对应的向量方程为

$\mathbf {r} (t)=\langle \cos t,\sin t,2-\sin t\rangle$

极限和连续性

向量函数的极限 $\mathbf {r}$ 是通过对其分量函数取极限来定义的。

向量函数的极限

存在一个向量函数 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$. 如果 $\lim _{t\rightarrow a}f(t),\lim _{t\rightarrow a}g(t),\lim _{t\rightarrow a}h(t)$ 存在，那么

$\lim _{t\rightarrow a}\mathbf {r} (t)=\langle \lim _{t\rightarrow a}f(t),\lim _{t\rightarrow a}g(t),\lim _{t\rightarrow a}h(t)\rangle$

而连续性的要求也很简单

向量函数 $\mathbf {r}$ 在 $a$ 处连续，如果 $\lim _{t\rightarrow a}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (a)$.

导数和积分

微分

回顾一下，标量函数 $f(x)$ 的一阶导数定义为

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

向量函数 $\mathbf {r} (t)$ 的一阶导数的定义方式几乎相同

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$

我们可以使用这个定义来证明向量函数的导数可以表示为其分量函数的导数。

${\begin{aligned}\mathbf {r} '(t)&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}[\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)]\quad {\text{definition}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}[\langle f(t+\Delta t),g(t+\Delta t),h(t+\Delta t)\rangle -\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\langle {\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}},{\frac {g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}},{\frac {h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}}\rangle \quad {\text{vector addition and multiplication}}\\&=\langle \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}},\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}},\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}}\rangle \quad {\text{definition}}\\&=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle \quad {\text{definition}}\\\end{aligned}}$

因此，使用相同的方法，我们可以推导出二阶导数等等。

向量函数的导数

有一个向量函数$\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$。 该向量函数的一阶导数为

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle$

所以$n$阶导数应该看起来像这样

$\mathbf {r} ^{(n)}(t)=\langle f^{(n)}(t),g^{(n)}(t),h^{(n)}(t)\rangle$

微分法则

就像实值函数一样，向量函数的世界中也有一些微分法则。使向量微分法则稍微复杂的是乘积法则，因为向量中存在两种类型的乘法：点积和叉积。

向量函数的微分法则

假设 $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ 是可微向量函数，$f$ 是实值函数。 那么

1. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)+\mathbf {v} '(t)\quad$ (加法)
2. ${\frac {d}{dt}}[f(t)\mathbf {u} (t)]=f'(t)\mathbf {u} (t)+f(t)\mathbf {u} '(t)\quad$ (标量乘法)
3. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} '(t)\quad$ (点积)
4. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} (t)]=\mathbf {u} '(t)\times \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} '(t)\quad$ (叉积)
5. ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (f(t))]=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))\quad$ (链式法则)

当然，我们将证明这些规则是正确的。假设 $\mathbf {u} (t)=\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle$ 以及 $\mathbf {v} (t)=\langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle$.

规则 1：加法规则

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle +\langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}\langle f_{1}(t)+g_{1}(t),f_{2}(t)+g_{2}(t),f_{3}(t)+g_{3}(t)\rangle \quad {\text{vector addition}}\\&=\langle {\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)+g_{1}(t)),{\frac {d}{dt}}(f_{2}(t)+g_{2}(t)),{\frac {d}{dt}}(f_{3}(t)+g_{3}(t))\rangle \quad {\text{distribution}}\\&=\langle f_{1}'(t)+g_{1}'(t),f_{2}'(t)+g_{2}'(t),f_{3}'(t)+g_{3}'(t)\rangle \quad {\text{addition rule for real-valued functions}}\\&=\langle f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t)\rangle +\langle g_{1}'(t),g_{2}'(t),g_{3}'(t)\rangle \quad {\text{vector addition}}\\&=\mathbf {u} '(t)+\mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

规则 2：标量乘法规则

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[f(t)\mathbf {u} (t)]&={\frac {d}{dt}}[f(t){\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\end{pmatrix}}]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f(t)f_{1}(t)\\f(t)f_{2}(t)\\f(t)f_{3}(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{1}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{2}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f(t)f_{3}(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}(t)+f(t)f_{1}'(t)\\f'(t)f_{2}(t)+f(t)f_{2}'(t)\\f'(t)f_{3}(t)+f(t)f_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}(t)\\f'(t)f_{2}(t)\\f'(t)f_{3}(t)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f(t)f_{1}'(t)\\f(t)f_{2}'(t)\\f(t)f_{3}'(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{vector addition}}\\&=f'(t){\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\end{pmatrix}}+f(t){\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\f_{3}'(t)\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&=f'(t)\mathbf {u} (t)+f(t)\mathbf {u} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

规则 3：点积规则

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle \cdot \langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)g_{1}(t)+f_{2}(t)g_{2}(t)+f_{3}(t)g_{3}(t))\quad {\text{dot product}}\\&={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}(t)\quad {\text{simplification}}\\&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {d}{dt}}f_{i}(t)g_{i}(t)\quad {\text{distribution}}\\&=\sum _{i=1}^{3}[f_{i}'(t)g_{i}(t)+f_{i}(t)g_{i}'(t)]\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&=\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}(t)+\sum _{i=1}^{3}f_{i}(t)g_{i}'(t)\quad {\text{vector addition}}\\&=\mathbf {u} '(t)\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

规则 4：叉积规则

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} (t)]&={\frac {d}{dt}}[\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle \times \langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ]\quad {\text{component form}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}(t)&f_{2}(t)&f_{3}(t)\\g_{1}(t)&g_{2}(t)&g_{3}(t)\\\end{vmatrix}}\quad {\text{cross product}}\\&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f_{2}(t)g_{3}(t)-f_{3}(t)g_{2}(t)\\f_{3}(t)g_{1}(t)-f_{1}(t)g_{3}(t)\\f_{1}(t)g_{2}(t)-f_{2}(t)g_{1}(t)\\\end{pmatrix}}\quad \\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}(f_{2}(t)g_{3}(t)-f_{3}(t)g_{2}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f_{3}(t)g_{1}(t)-f_{1}(t)g_{3}(t))\\{\frac {d}{dt}}(f_{1}(t)g_{2}(t)-f_{2}(t)g_{1}(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)+f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{multiplication rule for real-valued functions}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)+f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)+f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{rearrangement}}\\&={\begin{pmatrix}f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)\\f_{3}'(t)g_{1}(t)-f_{1}'(t)g_{3}(t)\\f_{2}'(t)g_{3}(t)-f_{3}'(t)g_{2}(t)\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\f_{3}(t)g_{1}'(t)-f_{1}(t)g_{3}'(t)\\f_{2}(t)g_{3}'(t)-f_{3}(t)g_{2}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad {\text{vector addtion}}\\&={\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)&f_{3}'(t)\\g_{1}(t)&g_{2}(t)&g_{3}(t)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\f_{1}(t)&f_{2}(t)&f_{3}(t)\\g_{1}'(t)&g_{2}'(t)&g_{3}'(t)\\\end{vmatrix}}\quad {\text{cross product}}\\&={\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\f_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}g_{1}(t)\\g_{2}(t)\\g_{3}(t)\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\f_{3}(t)\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}g_{1}'(t)\\g_{2}'(t)\\g_{3}'(t)\\\end{pmatrix}}\quad \\&=\mathbf {u} '(t)\times \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\times \mathbf {v} '(t)\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

规则 5：链式法则

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[\mathbf {u} (f(t))]&={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}f_{1}(f(t))\\f_{2}(f(t))\\f_{3}(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{component form}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}f_{1}(f(t))\\{\frac {d}{dt}}f_{2}(f(t))\\{\frac {d}{dt}}f_{3}(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{distribution}}\\&={\begin{pmatrix}f'(t)f_{1}'(f(t))\\f'(t)f_{2}'(f(t))\\f'(t)f_{3}'(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{chain rule for real-valued functions}}\\&=f'(t){\begin{pmatrix}f_{1}'(f(t))\\f_{2}'(f(t))\\f_{3}'(f(t))\\\end{pmatrix}}\quad {\text{scalar multiplication}}\\&=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))\quad {\text{vector form}}\\\end{aligned}}$

$\blacksquare$

曲线之间的角度

然后我们可以通过考虑两个切向向量之间的角度来阐述两条曲线之间的角度的概念。如果两条曲线由${\vec {f_{1}}}$ 和 ${\vec {f_{2}}}$ 参数化，并在某一点相交，这意味着

${\vec {f_{1}}}(s)={\vec {f_{2}}}(t)=c$

这两条曲线在$c$ 处的角度是切向向量 ${\vec {f_{1}'}}(s)$ 和 ${\vec {f_{2}'}}(t)$ 之间的角度，使用点积，由以下公式给出

$\arccos \left({\frac {{\vec {f_{1}'}}(s)\cdot {\vec {f_{2}'}}(t)}{{\Big \|}{\vec {f_{1}'}}(s){\Big \|}{\Big \|}{\vec {f_{2}'}}(t){\Big \|}}}\right)$

积分

类似于实值函数，向量函数 $\mathbf {r} (t)$ 的定积分定义为

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} (t_{i}^{*})\Delta t\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\biggl [}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}g(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}h(t_{i}^{*})\Delta t{\biggr )}\mathbf {k} {\biggr ]}\\&={\biggl (}\int _{a}^{b}f(t)dt{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\int _{a}^{b}g(t)dt{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\int _{a}^{b}h(t)dt{\biggr )}\mathbf {k} \end{aligned}}$

我们可以将微积分基本定理扩展到连续向量函数，如下所示

微积分基本定理（包括向量函数）

$\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (t){\biggr ]}_{a}^{b}=\mathbf {R} (b)-\mathbf {R} (a)$

对于不定积分，定义是

$\int \mathbf {r} (t)dt={\biggl (}\int f(t)dt{\biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}\int g(t)dt{\biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}\int h(t)dt{\biggr )}\mathbf {k} +\mathbf {C}$

弧长

回想一下在第 5.3 章中，我们推导出具有参数方程的曲线的长度 ${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$, $a\leq t\leq b$ 应该是

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{dt}}{\biggr )}^{2}}}dt$

由于向量函数本质上是具有方向的参数方程，我们可以将上述公式应用于空间曲线的长度。

空间曲线的弧长

如果曲线具有向量方程 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ,a\leq t\leq b$，或等价地，参数方程 $x=f(t),y=g(t),z=h(t)$，其中 $f',g',h'$ 是连续的，则从 $t=a$ 到 $t=b$ 的曲线长度是

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {[f'(t)]^{2}+[g'(t)]^{2}+[h'(t)]^{2}}}dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{dt}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dx}{dz}}{\biggr )}^{2}}}dt$

对于那些喜欢简洁的人来说，这个公式可以改写成

$L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} '(t)|dt\quad$ 或 $\quad {\frac {dL}{dt}}=|\mathbf {r} '(t)|$

参数重整

假设存在一个向量函数描述了粒子相对于时间的位移，其方程为

$\mathbf {r} (t)=\cos t\ \mathbf {i} +\sin t\ \mathbf {j} +t\ \mathbf {k}$

然而，出于某种原因，我们不想知道这个粒子相对于时间的位移。相反，我们想知道它相对于其行进距离 ($s$) 的位移，从 $(1,0,0)$ 沿 $t$ 递增方向。为了做到这一点，我们需要找到一种方法来描述时间作为距离的函数。换句话说，我们需要找到 $t=t(s)$。我们可以使用弧长公式来建立时间和距离之间的关系，因为在这种情况下，弧长描述了粒子行进的距离。

在我们开始计算之前，我们需要引入弧长函数。

弧长函数

假设一条分段光滑曲线，其向量函数为 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle ,a\leq t\leq b$，并且当 $t$ 从 $a$ 增加到 $b$ 时，该曲线恰好被遍历一次。弧长函数 $s(t)$ 为

$s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt {{\biggl (}{\frac {dx}{du}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dy}{du}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {dz}{du}}{\biggr )}^{2}}}du$

根据定义，我们曲线的弧长函数 $\mathbf {r} (t)$ 应该是

$s(t)=\int _{0}^{t}|\mathbf {r} '(u)|du=\int _{0}^{t}{\sqrt {(-\sin u)^{2}+(\cos u)^{2}+1^{2}}}du={\sqrt {2}}u{\bigg ]}_{0}^{t}={\sqrt {2}}t$

注意，$a=0$，因为初始点 $(1,0,0)$ 对应于参数值 $t=0$。由于它处于 $t$ 增加的方向，因此积分方向应该是从 $0$ 到 $t$。

$t(s)={\frac {s}{\sqrt {2}}}$

然后我们将原始函数代入，得到答案

$\mathbf {r} (s)=\cos {\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {i} +\sin {\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {j} +{\frac {s}{\sqrt {2}}}\ \mathbf {k}$

参数变换在现实生活中有着重要的应用，因为我们有时需要根据不同的变量来了解某个值。在本例中，我们不是用时间来描述粒子的路径，而是用其距离来描述其路径，这在某些情况下将非常有用。

曲率

术语

在我们开始讨论曲率之前，有一些重要的向量和概念我们至少需要了解。

单位切向量

在本节的微分部分，我们讨论了向量函数的导数。我们知道 $\mathbf {v} (t)=\mathbf {r} '(t)$ 在 $t=t_{0}$ 处与曲线 $\mathbf {r} (t)$ 在 $t=t_{0}$ 处相切。 $\mathbf {r} '(t)$ 称为切向量。然而，单位切向量消除了幅度的方面，因为它被定义为

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

我们可以看到，单位切向量的幅度始终为 $1$。我们可以将 $\mathbf {r} (t)$ 想象成粒子随时间推移的位移。因此，单位切向量可以被认为是粒子速度随时间的变化方向。它也可以被认为是粒子切向加速度随时间的变化方向。我们将在下一节讨论空间中的运动，但这是一种直观理解一些向量的有用方法。

单位法向量

单位法向量定义为

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{|\mathbf {T} '(t)|}}$

单位法向量与单位切向量正交，因为由于 $|\mathbf {T} (t)|=1$，我们可以得到

${\frac {d}{dt}}|\mathbf {T} (t)|^{2}=0={\frac {d}{dt}}[\mathbf {T} (t)\cdot \mathbf {T} (t)]=2\mathbf {T} '(t)\cdot \mathbf {T} (t)$

$\Leftrightarrow \mathbf {T} '(t)\cdot \mathbf {T} (t)=0$

这意味着 $\mathbf {T} '(t)$ 与 $\mathbf {T} (t)$ 正交。 因此，$\mathbf {N} (t)$ 与 $\mathbf {T} (t)$ 正交。我们可以想象单位法向量是粒子相对于时间的法向加速度的方向。

副法向量

副法向量定义为

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)$

由于叉积的性质，副法向量垂直于单位切向量和单位法向量。副法向量的模长始终为 1，因为

$|\mathbf {B} (t)|=|\mathbf {T} (t)||\mathbf {N} (t)|\sin \theta =1$

法平面、密切平面和密切圆

• 法平面是由法向量和副法向量 $\mathbf {N} {\text{ and }}\mathbf {B}$ 确定的平面。法平面包含所有与切向量 $\mathbf {T}$ 正交的直线。
• 密切平面是由单位切向量和单位法向量$\mathbf {T} {\text{ and }}\mathbf {N}$决定的平面。它是最接近包含曲线在点$t=t_{0}$附近的曲线的平面。
• 密切圆是位于密切平面内、朝向$\mathbf {N}$方向的圆，其半径为$r={\frac {1}{\kappa }}$（曲率的倒数，我们将在后面立即讨论）。它能最好地描述曲线在点$t=t_{0}$附近的行为，因为它在该点具有相同的切线、法线和曲率。

这些概念在微分几何分支及其在航天器运动中的应用中非常重要。

曲率

曲线在给定点处的曲率是衡量曲线在该点处改变方向速度的度量。我们将其定义为单位切线相对于弧长的变化率的大小。我们使用弧长，以便曲率与参数化无关。

假设一条空间曲线具有向量函数$\mathbf {r}$，单位切向量$\mathbf {T}$和弧长$s$。这条曲线的曲率为：$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} (s)}{ds}}{\biggr |}$.

还有两种方法可以表示曲率。我们可以利用链式法则（回想一下${\frac {dL}{dt}}=|\mathbf {r} '(t)|$）用$t$而不是$s$来表示曲率。

$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\biggr |}={\Biggl |}{\frac {{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\frac {ds}{dt}}}{\frac {ds}{dt}}}{\Biggr |}={\Biggl |}{\frac {\frac {d\mathbf {T} (t)}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}{\Biggr |}={\frac {|\mathbf {T} '(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

第三种方法推导起来比较复杂，但它在实际应用中通常比较方便，因为它只需要$\mathbf {r} (t)$及其导数。

$\kappa (t)={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|^{3}}}$

现在来证明这个定理。

根据单位切向量的定义，我们知道 $\mathbf {r} '=|\mathbf {r} '|\mathbf {T}$. 所以 $\mathbf {r}$ 的二阶导数应该是

${\begin{aligned}\mathbf {r} ''&=(|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} )'\\&=|\mathbf {r} ''|\ \mathbf {T} +|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} '\quad {\text{the product rule}}\\\end{aligned}}$

现在我们计算 $\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''$.

${\begin{aligned}\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''&={\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} {\bigr )}\times {\bigl (}|\mathbf {r} ''|\ \mathbf {T} +|\mathbf {r} '|\ \mathbf {T} '{\bigr )}\quad {\text{substitution}}\\&={\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} \times |\mathbf {r} ''|\mathbf {T} {\bigr )}+{\bigl (}|\mathbf {r} '|\mathbf {T} \times |\mathbf {r} '|\mathbf {T} '{\bigr )}\quad {\text{distribution}}\\&=|\mathbf {r} '||\mathbf {r} ''|(\mathbf {T} \times \mathbf {T} )+|\mathbf {r} '|^{2}(\mathbf {T} \times \mathbf {T} ')\quad {\text{rearrangement}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}(\mathbf {T} \times \mathbf {T} ')\quad {\text{realizing that }}\mathbf {T} \times \mathbf {T} =0\\\end{aligned}}$

然后我们计算 $|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|$.

${\begin{aligned}|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} \times \mathbf {T} '|\quad {\text{substitution}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} ||\mathbf {T} '|\sin \theta \quad {\text{the magnitude for the cross product}}\\&=|\mathbf {r} '|^{2}|\mathbf {T} '|\quad {\text{when you realize }}|\mathbf {T} |=1{\text{ and }}\mathbf {T} \perp \mathbf {T} '\\\end{aligned}}$

我们将方程重新排列成

$|\mathbf {T} '|={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{2}}}$

由于 $\kappa ={\frac {|\mathbf {T} '|}{|\mathbf {r} '|}}$, 我们可以用 ${\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{2}}}$ 代替 $|\mathbf {T} '|$ 并得到：$\kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

以下是关于计算曲率的方法的小结。

定义	关于 $\mathbf {t}$ 的参数化	根据 $\mathbf {r} (t)$ 及其导数
$\kappa ={\biggl |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\biggr |}$	$\kappa ={\frac {|\mathbf {T} '|}{|\mathbf {r} '|}}$	$\kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

空间运动

速度和加速度

请记住，在二维微积分中，我们提到，位移函数为 $f(x)$ 的粒子，其速度为 $f'(x)$，加速度为 $f''(x)$。在向量函数中，定义基本相同。假设一个粒子在空间中移动，使其在时间 $t$ 的位置向量为 $\mathbf {r} (t)$，其速度函数和加速度函数为

$\mathbf {v} (t)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}=\mathbf {r} '(t)\quad$ 和 $\quad \mathbf {a} (t)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t)}{h}}=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)$

简而言之： $\mathbf {r} ''(t)=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {a} (t)$。

粒子的速度不考虑方向。它是速度向量的幅度：$|\mathbf {v} (t)|$。粒子从 $t=a{\text{ to }}b$ 行进的距离为 $\int _{a}^{b}|\mathbf {v} (t)|dt$，这也是弧长的公式。

借助微积分基本定理，我们可以推导出粒子的速度函数和位置函数，前提是我们知道粒子的加速度。

$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (u)du\quad$ 和 $\quad \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {v} (u)du$

切向加速度和法向加速度

我们可以将加速度向量分成两个分量：切向加速度 $a_{T}$ 和法向加速度 $a_{N}$。切向加速度与单位切向量方向相同 ($\mathbf {T}$)，法向加速度与单位法向量方向相同 ($\mathbf {N}$)。由于 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {N}$ 都是单位向量，加速度向量可以写成两个向量的和

$\mathbf {a} =a_{T}\mathbf {T} +a_{N}\mathbf {N}$

我们的目标是弄清楚如何描述这两个分量。

回想一下 $\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}$，因此

$\mathbf {v} =|\mathbf {v} |\mathbf {T}$

现在我们对等式的两边求导，

${\begin{aligned}\mathbf {v} '&={\bigl (}|\mathbf {v} |\mathbf {T} {\bigr )}'\\&=|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +|\mathbf {v} |\mathbf {T} '\\\end{aligned}}$

所以我们得到 $\mathbf {a} =|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +|\mathbf {v} |\mathbf {T} '$.

回想一下 $\kappa ={\frac {{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}{{\big |}\mathbf {r} '{\big |}}}={\frac {{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}{{\big |}\mathbf {v} {\big |}}}$，因此 ${\big |}\mathbf {T} '{\big |}=\kappa |\mathbf {v} |$.

回想一下 $\mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{{\big |}\mathbf {T} '{\big |}}}$，因此 $\mathbf {T} '={\big |}\mathbf {T} '{\big |}\mathbf {N} =\kappa |\mathbf {v} |\mathbf {N}$.

我们用 $\mathbf {T} '$ 替换 $\kappa |\mathbf {v} |\mathbf {N}$ 以得到：$\mathbf {a} =|\mathbf {v} |'\mathbf {T} +\kappa |\mathbf {v} |^{2}\mathbf {N}$

这留下了我们

$a_{T}=|\mathbf {v} |'\quad$ 以及 $\quad a_{N}=\kappa |\mathbf {v} |^{2}$

$\blacksquare$

当然，如果这些分量可以用 $\mathbf {r} (t)$ 及其导数表示，会更加方便。假设 $\theta$ 是 $\mathbf {T}$ 与 $\mathbf {a}$ 之间的角度，那么我们可以这样写 $a_{T},a_{N}$

${\begin{aligned}a_{T}&=|\mathbf {a} (t)|\cos \theta \\&={\frac {|\mathbf {v} (t)||\mathbf {a} (t)|\cos \theta }{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{algebraic manipulation}}\\&={\frac {\mathbf {v} (t)\cdot \mathbf {a} (t)}{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{dot product}}\\&={\frac {\mathbf {r} '(t)\cdot \mathbf {r} ''(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad {\text{in terms of }}\mathbf {r} (t){\text{ and its derivatives}}\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}a_{N}&=|\mathbf {a} (t)|\sin \theta \\&={\frac {|\mathbf {v} (t)||\mathbf {a} (t)|\sin \theta }{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{algebraic manipulation}}\\&={\frac {|\mathbf {v} (t)\times \mathbf {a} (t)|}{|\mathbf {v} (t)|}}\quad {\text{cross product}}\\&={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad {\text{in terms of }}\mathbf {r} (t){\text{ and its derivatives}}\\\end{aligned}}$

$\blacksquare$

总结一下

$a_{T}=|\mathbf {v} |'={\frac {\mathbf {r} '(t)\cdot \mathbf {r} ''(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\quad$ 和 $\quad a_{N}=\kappa |\mathbf {v} |^{2}={\frac {|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)|}{|\mathbf {r} '(t)|}}$

扩展

我们只讨论了包含三个变量的向量函数 $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$。 那如何将我们对向量函数的理解扩展到 $n$ 个变量？ 假设我们有一条向量函数为

$\mathbf {r} (t)={\begin{pmatrix}f_{1}(t)\\f_{2}(t)\\\vdots \\f_{n}(t)\\\end{pmatrix}}$

极限

向量函数的极限定义为

$\lim _{t\rightarrow c}\mathbf {r} (t)={\begin{pmatrix}\lim _{t\rightarrow c}f_{1}(t)\\\lim _{t\rightarrow c}f_{2}(t)\\\vdots \\\lim _{t\rightarrow c}f_{n}(t)\\\end{pmatrix}}$

微分和积分

向量函数的导数定义为

$\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$， 因此 $\quad \mathbf {r} '(t)={\begin{pmatrix}f_{1}'(t)\\f_{2}'(t)\\\vdots \\f_{n}'(t)\\\end{pmatrix}}$

所有微分规则都适用。

我们可以将积分扩展到

$\int \mathbf {r} (t)dt={\begin{pmatrix}\int f_{1}(t)dt\\\int f_{2}(t)dt\\\vdots \\\int f_{n}(t)dt\\\end{pmatrix}}+\mathbf {C}$

那么，弧长将变为

$L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} '(t)|dt\quad$或 $\quad L=\int _{a}^{b}{\sqrt {[f_{1}'(t)]^{2}+[f_{2}'(t)]^{2}+\cdots +[f_{n}'(t)]^{2}}}dt$