类别论/加法范畴

定义（双积）:

设${\mathcal {C}}$为一个范畴，并设$(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$为${\mathcal {C}}$中的一族对象。 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$的双积是${\mathcal {C}}$中的一个对象，通常记为

$\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$

并且存在箭头

$\iota _{\alpha }:X_{\alpha }\to \bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ 和 $\pi _{\alpha }:\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }\to X_{\alpha }$

对于所有$\alpha \in A$，它们具有以下性质

1. $\alpha \neq \beta \Rightarrow \pi _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=0$ 和 $\forall \alpha \in A:\pi _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=\operatorname {Id} _{X_{\alpha }}$
2. $\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，连同态射$(\iota _{\alpha })_{\alpha \in A}$，构成了范畴${\mathcal {C}}$中的一个余积。
3. $\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，连同态射$(\pi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，构成了范畴${\mathcal {C}}$中的一个积。

定义（加法范畴）

:

一个加法范畴是一个范畴${\mathcal {C}}$，满足以下所有条件

1. ${\mathcal {C}}$中的每个态射都具有核和余核。
2. 对于${\mathcal {C}}$的任意两个对象$X,Y$，都存在一个双积$X\oplus Y$。
3. 对于${\mathcal {C}}$的任意两个对象$X,Y$，赋值$(f,g)\mapsto h$，其中$h:X\to Y$ 是由将态射$X{\overset {\Delta }{\to }}X\oplus X{\overset {f\times g}{\to }}Y\oplus Y$（其中$\Delta$表示对角) 与反对角$\nabla :Y\oplus Y\to Y$复合得到的态射，将$\operatorname {Hom} (X,Y)$变为一个阿贝尔群。