电路理论/1初始与电源/示例30

RC电路，目标是找到电容C2电流随时间变化的方程…最初开关SW1闭合，SW2断开，然后SW1断开的同时SW2闭合。

目标是找到通过C₂的电流表达式。

从充电电路分析开始。

充电电路

假设经过了很长时间。电容是开路的，电阻分压Vo，C₂与R₂并联，因此R₂两端的电压与C₂两端的电压相同。

$V_{C_{2}}=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

这变成了放电电路的初始电压。

放电电路

C₂由R₂和R₃的并联组合放电。

$R_{eq}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}$

所以时间常数是

$\tau =R_{eq}C_{2}$

特殊的稳态解为0，因为没有强迫函数。

标记了等效放电RC电路

$V_{c2}=Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C$

matlab 代码数值解

放电分析是电容性的。将通过R₂和R₃的并联组合放电，初始电压为V_C2。

有两个初始条件，一个是电容两端的初始电压，另一个是回路方程。

电容两端的初始电压

$V_{c2}(0)=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=A+C$

回路方程

$-C_{2}{dV_{c2} \over dt}-{\frac {V_{c2}}{R_{eq}}}=0$

电容端电压为负，因为它根据正号约定，在放电电路的标记方式下充当电源。

${\frac {AC_{2}}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {AC_{2}}{R_{eq}C_{2}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {A}{R_{eq}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {A}{R_{eq}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+{\frac {C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {C}{R_{eq}}}=0$

$C=0$

需要解以上两个方程求解A和C，然后才能计算i(t)。这在符号计算上会比较复杂。

如果V_o = 20V，R₁= 6KΩ，R₂ = 2KΩ，R₃ = 10.01Ω，C₂ = 470μF，求i_C2(t)

初始条件方程

$5-C-A=0$

回路方程

$-0.201*A-0.1*C=0$

求解

$A=5$ 和 $C=0$

电流将为

$i_{c2}(t)=0.502e^{-{\frac {t}{.00468}}}$

所有电流都必须在5τ后消失，并且在上式中确实如此。但这并不总是正确的，这就是为什么需要详细计算的原因。

通常，微分方程数学（非齐次方程的齐次解和特解）表明存在更多A、C解对。这意味着电路的所有真实事实都需要转化为计算A和C的方程。电路可能存在冗余的真实事实。它们可以用来检查工作结果。

然后，初始值方程将确定A的值

$V_{c2}(0)=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=A*e^{-{\frac {0}{\tau }}}=A$

$A=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=5$

这意味着电流为

$i_{c2}={\frac {v_{c2}}{R_{eq}}}=.502e^{-{\frac {t}{.00468}}}$

结论

不能依赖数学来得到唯一解。可能存在其他解。起点是物理电路。关于电路，哪些是必须成立的？数学应该描述一条通往真理的路径，但不能依赖数学来引导我们找到它。这意味着观察电路并写下关于它的所有必须成立的事实

• 每个电容和电感都有初始电压和电流
• 电容或电感的初始条件之一将与回路或节点方程相关联
• 最终值... 存储能量（电容电压或电感电流）可能为零、某个有限值，或者电路可能发生故障。