电路理论/单电源激励/示例 10

用于 示例 10 的并联 RL 电路

已知

$I_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$

计算稳态/特解的先前工作

已经找到了稳态/特解

$V_{s}(t)=I_{m}{\frac {\sqrt {(\omega ^{2}L^{2}R)^{2}+(\omega LR^{2})^{2}}}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\cos(\phi +\arctan({\frac {R}{\omega L}}))$

或数值上

$V_{s_{P}}(t)=599\cos(377t+3.30)$

计算瞬态/齐次解

需要找到对以下公式的瞬态/齐次解

$I_{s}=I_{R}+I_{L}$

$I_{s}={\frac {Vs}{R}}+I_{L}$

${dI_{s} \over dt}={d{\frac {V_{s}}{R}} \over dt}+{dI_{L} \over dt}$

${dI_{s} \over dt}={d{\frac {V_{s}}{R}} \over dt}+{\frac {V_{s}}{L}}$

$0={\frac {1}{R}}{dV_{sH} \over dt}+{\frac {V_{sH}}{L}}$

没有 I_S .. 这使得齐次解非常简单！

猜测

$V(t)_{s_{H}}=A*e^{\frac {-t}{\tau }}$

求时间常数

${\frac {-Ae^{\frac {-t}{\tau }}}{\tau R}}+{\frac {A}{L}}e^{\frac {-t}{\tau }}=0$

除以 A 和指数项

$-{\frac {1}{\tau R}}+{\frac {1}{L}}=0$

求解时间常数

$\tau =L/R=.001$

现在看看它是否有效

${\frac {Ae^{\frac {-t}{L/R}}}{R}}+{\frac {A(-{\frac {R}{L}})*e^{\frac {-t}{L/R}}}{L}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

除以 A，消去 L

$Re^{\frac {-t}{L/R}}-Re^{\frac {-t}{L/R}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

它有效，因此它一定是解

$v(t)_{s_{H}}=Ae^{\frac {-t}{0.0001}}$

确定常数

有两个常数。 $A$ 和 $C$ 来自非齐次微分方程的任何齐次解。 这些在之前的稳态相量解中没有被忽略，只是没有计算出来，这一点已经指出了。

$V(t)_{s}=V(t)_{s_{P}}+V(t)_{s_{H}}$

$V(t)_{s}=599\cos(377t+3.30)+Ae^{\frac {-t}{0.0001}}+C$

有两个初始条件必须成立

1. 电感端电压关系在 t=0 时必须成立
2. 电感上的初始电流为零，因此为开路，因此所有电流都流过电阻

求两个初始条件

matlab 代码

需要两个方程来求解 A 和 C

电感的端电压关系必须成立

$V_{s}(t)=L*{di_{L}(t) \over dt}$

我们不知道电感器的电流是多少，但我们知道在 t=0 时它是 0。因此，我们必须解出 i_L 的方程，然后将该方程设置为零。

$\int V_{s}(t)=L*i_{L}(t)$

$\int (599\cos(377x+3.30)+Ae^{\frac {-t}{0.0001}}+C)dt=L*i_{L}(t)$

$1.59*sin(377.0*t+3.3)-0.001*Ae^{\frac {-t}{0.0001}}+C*t=L*i_{L}(t)$

$-0.001*A-0.258=0$

$A=-258$

另一个方程来自所有电源电流都流过电阻器的事实。电阻器和电感器上的初始电压仅由电阻器决定。电感器不关心也不影响电压。电感器只关心维持其能量水平（假设为 0）。所以第二个方程是

$v_{s}(0)=i_{s}(0)*R$

$599\cos(3.30)+A+C=120{\sqrt {2}}cos(120^{\circ })*10$

$258+A+C=0$

所以

$C=0$

总结结果

$v_{s}(t)=599\cos(377t+3.30)-258*e^{\frac {-t}{0.0001}}$