电路理论/2初始激励

具有充电部分、放电部分和两个开关的完整电路

充电电路（sw1闭合，sw2打开）

放电电路（sw1打开，sw闭合）

充电

电源电压可以是直流电。在这种情况下，初始电容器电压将为 V_s，电压的导数将为零。

电源电压可以是交流电，在这种情况下，开关切换的确切时间或更精确的相位角将决定 V_s 和电压值的导数。

放电

初始电感器电流将为零，导数将为零。

经过很长时间后，将不再有任何活动。稳态特解将为零。

电流将贯穿始终保持一致。目标应该是找到电流的表达式。然而，任何电压也可以被找到，然后是电流。无关紧要。

总之，放电电路中将没有初始电流，电容器两端将有电压。电感器将在 t=0₊ 时表现得像开路，因此整个电压将出现在电感器两端，并立即（在 t=0_- 和 t=0₊ 之间）引起电感器电流导数的变化。

一阶电路电流方程为

$V_{c}(t)=Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}$

然而，这是一个二阶电路（同时包含电容器和电感器），因此

$V_{c}(t)=Ae^{-st}$

复频率 s 替换了 tau。时间常数的概念消失了。s 的直观解释存在，但更复杂。记住

$s=\sigma +j\omega$

微分方程

回到复频率域以找到时间常数。从回路方程开始

$V_{c}+V_{r}+V_{L}=0$

将 V_r 和 V_L 的端子方程代入，但不要代入 V_c，因为想要避免积分

$V_{c}+i(t)R+L{di(t) \over dt}=0$

从电容器的端子关系可知

$i(t)=C{dV_{c} \over dt}$

因此代入后，得到 V_c 的微分方程

$V_{c}+RC{dV_{c} \over dt}+LC{d^{2}V_{c} \over dt^{2}}=0$

现在可以看到二阶了。

寻找时间常数或零点

零点就像时间常数，但可能存在多个零点。它们可能对电路的影响各不相同。

需要找到 V_c。特解（稳态）将为零。（零点的名称来源）。

齐次解将具有以下形式

$V_{c}(t)=Ae^{st}$

代入微分方程

$Ae^{st}+RCAse^{st}+LCAs^{2}e^{st}=0$

除以 Ae^st 得到

$1+RCs+LCs^{2}=0$

$s^{2}+{\frac {Rs}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

该方程的零点为

$s_{1,2}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}=-(\sigma \pm j\omega )$

根据您对二次方程的经验，您知道_1,2有三种类型的配对

配对类型	Vc的修正方程	解释
实数，不相等	$A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$	过阻尼
相等	$A_{1}e^{st}+A_{2}te^{st}$	临界阻尼
复数	$e^{-\sigma t}(A_{1}\cos \omega t+A_{2}\sin \omega t$)	欠阻尼

修正方程（猜测）来自数学证明，一些课程从拉普拉斯变换推导出这些方程。只需记住这张表。

有两个储能元件，每个元件有两个初始条件，因此可能有四个方程和四个常数。A₁和A₂是其中的两个。

无阻尼（蓝色）、欠阻尼（绿色）、临界阻尼（红色）和过阻尼（青色）情况

要理解阻尼，想象一辆汽车驶过路边石。无阻尼意味着汽车会永远上下弹跳。欠阻尼是指当减震器开始漏油时发生的情况（汽车会上下弹跳一段时间……就像乘船一样）。临界阻尼是为什么人们讨厌跑车（会震动他们的屁股）。汽车的过阻尼响应会给驾驶员反馈。上面这样的电路已被用来模拟减震器。这些电路被称为模拟计算机.

几乎共振（欠阻尼）

R和L对共振的影响

以上三种中最有趣的是欠阻尼。会发生类似共振的现象。

卫星会根据哪一面朝向太阳或2.7开尔文的太空而膨胀和收缩。重复的膨胀和收缩会产生振荡，需要通过一个电机来抑制，该电机会旋转一个重量来抑制振动。否则，任何可以摆动的东西都会越来越剧烈地摆动，直到部件开始脱落。（地球上的汽车也不例外）。

大多数控制电路输入都是不平衡的。输出模拟所需的行为。校正（反馈控制）电路（此处未讨论）会介入以确保实际行为与所需行为匹配。最常的做法是设计一个临界阻尼电路，而不是仅仅预测将要发生的事情。

当s₁和s₂是纯虚数时，会发生共振（或接近共振）。

$s_{1,2}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}=-(\sigma \pm j\omega )$

因此

$\sigma ={\frac {R}{2L}}$

有趣的是根号项。它决定了二阶响应的性质。

当二次方程解的实部为零时，就会发生纯共振，这只会发生在R<<L时。

晶体用一个电容并联一个串联RLC网络来建模

根号项的内容不必为零，只要实部为零，就可以是过阻尼的

$j\omega ={\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}$

$j\omega =j{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}$

j抵消了，我们已经假设了R<<L，所以

$\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}$

称为阻尼频率、振铃频率或无阻尼频率。

当R<<L时，它会变成共振频率

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

机械工程师试图预测给定结构和材料的 ω。它可以是建筑物或电机支架。数学证明了 ω 的存在。找到精确的 ω 通常需要测试。机械工程师用弹簧和阻尼器来模拟所有东西，而不是电容和电感。找到 ω 可能很困难。这就是为什么存在整个行业的 振动台。

结构中的弹簧和阻尼器值决定了共振的宽度或衰减程度。在设计建筑物时，机械工程师希望外壳尽可能宽而平坦（衰减）。在设计陷波滤波器时，电子工程师的设计目标恰恰相反：高而窄的外壳。电子工程师称之为 品质因数。

如今，大多数振荡器都是用 晶体 制成的。