电路理论/双电源激励/例46

电路理论维基教科书中的RLC问题

已知I_s = 1μ(t)安培，求解i_o的时间域表达式。

稳态特解

经过很长时间后，电容打开，电感短路，使两个电阻并联，电流被分成两部分，i_o为1/2安培。

瞬态特解

开始编写节点方程

$I_{s}=i_{c}+i_{r}+i_{o}$

代入电压端关系

$I_{s}=C{dV \over dt}+{\frac {V}{R}}+i_{o}$

用i_o来表示LR支路的电压V

$V=L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}$

代入以获得i_o表示的I_s

$I_{s}=C{d(L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}) \over dt}+{\frac {L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}}{R}}+i_{o}$

$I_{s}=CL{d^{2}i_{o} \over dt^{2}}+CR{di_{o} \over dt}+{\frac {L}{R}}{di_{o} \over dt}+i_{o}+i_{o}$

代入题中的数值

$I_{s}={d^{2}i_{o} \over dt^{2}}+2{di_{o} \over dt}+2i_{o}$

时间常数

猜测：$i_{o}(t)=Ae^{st}$ 代入

$I_{s}={d^{2}Ae^{-st} \over dt^{2}}+2{dAe^{-st} \over dt}+2Ae^{-st}$

$I_{s}=s^{2}Ae^{-st}+2sAe^{-st}+2Ae^{-st}$

这等于零吗？

$s^{2}Ae^{st}-2sAe^{st}+2Ae^{st}=0$

$s^{2}+2s+2=0$

不行。我们需要评估上述二次方程才能猜测另一个解。

$s_{1,2}=-1-j,-1+j=\sigma \pm j\omega$

$\sigma =-1$

$\omega =1$

所以下一个猜测是

$i_{o}=e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+C_{1}$

求解常数

经过很长一段时间后，电容器将断开，电感器将短路。这将留下两个并联的等效电阻，它们将使电流分成两半。

$i_{o}(\infty )={\frac {1}{2}}=C_{1}$

所以现在i_o的表达式是

$i_{o}=e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+{\frac {1}{2}}$

最初导体中的电流为0，所以i_o(0₊) = 0

$i_{o}(o_{+})={\frac {1}{2}}+A_{1}=0$

这意味着

$A_{1}=-{\frac {1}{2}}$

影响i_o的另一个初始条件是电感器两端的电压……为零。我们可以找到V_L的表达式

$V_{L}=L{di_{0}(t) \over dt}=L(-e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+e^{-t}(-A_{1}\sin t+A_{2}\cos t))$

将所有这些在t=0时设置为0得到

$0=-A_{1}+A_{2}$

所以

$A_{2}=A_{1}=-{\frac {1}{2}}$

因此i_o为

$i_{o}={\frac {1}{2}}+e^{-t}(-{\frac {1}{2}}\cos t-{\frac {1}{2}}\sin t)={\frac {1}{2}}(1-e^{-t}(\cos t+\sin t))$

该解用于使用卷积积分找到复杂源的i_o。