电路理论/伯德图

伯德图

伯德图绘制传递函数。由于传递函数是复数，因此绘制幅度和相位（在极坐标中）。自变量 ω 在围绕主要定义特征（如时间常数或谐振频率）的一系列值中变化。幅度图在纵轴上绘制传递函数幅度的 dB 值。相位图通常在纵轴上绘制度数。

File:Example45bode1.png

V_CR 与 V_S 的伯德图，看起来像一个斜率为 -40dB/十倍频程的无源低通滤波器，截止频率似乎为 10⁰ = 1 弧度/秒。电阻在直流时占主导地位，而电容在非常高频率时占主导地位。

MatLab tr 和 bode

示例 1

之前发现传递函数为

H(s)={\frac {\mathbb {V} _{cr}(s)}{\mathbb {V} _{s}(s)}}={\frac {1}{CLs^{2}+{\frac {Ls}{R}}+1}}={\frac {1}{s^{2}+2s+1}}

MatLab 有一种简写符号方法来输入此信息，其中系数按顺序排列（高次幂到低次幂）（先分子，然后分母）。对于此示例

f = tf([1],[1 2 1])

不加冒号在末尾应该显示传递函数。下一步是绘制它

grid on
bode(f)

结果是一个低通滤波器。目标不是了解如何创建这些图（并非易事），而是解释这些图（这几乎是一回事）。但在这一点上，目标是练习 MatLab。

File:Example14Bode.png

R3 电流与 V_s 的伯德图，看起来像一个在 1K 弧度/秒左右的陷波滤波器

示例 2

之前发现传递函数为

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {1000s^{3}+5*10^{9}s}{s^{4}+5*10^{6}*s^{3}+2.000015*10^{12}*s^{2}+3.5*10^{13}*s+5*10^{13}}}

f = tf([1000 0 5*10^9 0],[1 5*10^6 2.000015*10^12 3.5*10^13 5*10^13])
grid on
bode(f)

幅度图

伯德幅度图使用 dB，它同时是功率和电压以及电流的度量。纵轴的 dB 不是近似值，也不相对于任何东西。纵轴是一个准确的数字。横轴（自变量）可以是弧度/秒或赫兹。

相位图

伯德相位图是将径向频率绘制在 X 轴上，将电路在该频率下的相移绘制在 Y 轴上的图。轴可以用弧度或度数表示，频率可以用弧度/秒或赫兹表示。

极点和零点

传递函数具有 7 个可以在电路中实现的特征。在查看这些特征之前，需要定义极点、零点和原点。从传递函数的以下定义开始

H(j\omega )={\frac {Z(j\omega )}{P(j\omega )}}

零点是分子中的根。
极点是分母中的根。
原点是 s = jω = 0 的地方（在伯德分析中没有实部）。当频率为零时，输入为直流。这就是电容在很长时间后打开，电感器短路的地方。

传递函数中可能出现的 7 种特征是

常数
原点处的零点（分子中的 s）
原点处的极点（分母中的 s）
实零点（分子中的 s+a 因子）
实极点（分母中的 S+a 因子）
复共轭极点
复共轭零点

bode 和 bodeplot 函数在 MatLab 控制系统工具箱中可用。 BodePlotGui 做同样的事情，这里有讨论。BodePlotGui 是通过 NSF 资助在斯沃斯莫尔开发的。这里有一份斯沃斯莫尔伯德图教程的摘要。

电路仿真软件也可以绘制伯德图也。

伯德方程格式

假设我们有一个具有极点和零点的通用传递函数

H(j\omega )={\frac {(\omega _{A}+j\omega )(\omega _{B}+j\omega )}{(\omega _{C}+j\omega )(\omega _{D}+j\omega )}}

方程式上下方每一项的格式都是 $(\omega _{N}+j\omega )$ 。但是，我们可以重新排列数字，使其看起来像下面这样

\omega _{N}(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

现在，如果我们对方程式中的每一项都这样做，我们就会得到以下结果

H_{bode}(j\omega )={\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}{\frac {(1+{\frac {j\omega }{\omega _{A}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{B}}})}{(1+{\frac {j\omega }{\omega _{C}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{D}}})}}

虽然它们只是另一种写普通频率响应方程的方式，但这就是我们称之为“伯德方程”的格式。

直流增益

最前面的常数项

{\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}

被称为函数的“直流增益”。如果我们设置 $\omega \to 0$ ，我们可以看到方程式中的所有内容都抵消了，H 的值仅仅是我们的直流增益。因此，直流仅仅是当输入的频率为零时的输出。

断点频率

在每一项中

(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

量 $\omega _{N}$ 被称为“断点频率”。当电路的角频率等于断点频率时，该项变为 (1 + 1) = 2。当角频率远高于断点频率时，该项将远大于 1。当角频率远低于断点频率时，该项的值将近似为 1。

近似值

Bode 图是通过在对数纸上绘制直线（近似于实际的曲线）来构建的。以下是更精确的定义。

术语“远”是“至少 10 倍”的同义词。“远大于”变为“至少 10 倍大”，而“远小于”变为“至少 10 倍小”。我们还使用符号“<<”表示“远小于”和“>>”表示“远大于”。以下是一些示例

1 << 10
10 << 1000
2 << 20 正确！
2 << 10 错误！

由于多种原因，电气工程师认为对一些值进行大幅近似和取整是合适的。例如，制造技术永远无法创建完全符合数学计算的电路。当我们将这一点与“<<”和“>>”运算符结合起来时，我们可以得出一些重要的结论，帮助我们简化工作

如果 A << B

A + B = B
A - B = -B
A / B = 0

所有其他数学运算都需要执行，但这些 3 种形式可以近似为 0。这一点对于以后处理 Bode 图非常重要。

利用我们对 Bode 方程形式、直流增益值、分贝和“远大于、远小于”不等式的了解，我们可以快速地近似 Bode 幅度图。此外，重要的是要记住，这些增益值不是常数，而是依赖于变化的频率值。因此，我们找到的增益都是 Bode 图的斜率。我们的斜率值都以“每十年分贝”或简称为“db/decade”为单位。