电路理论/复频

复频为什么？

相量概念可以扩展到使用指数来涵盖电路的开启和关闭。例如

$V_{s}(t)=(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\cdot f(t)$ 开启

$V_{s}(t)=(e^{-{\frac {t}{\tau }}})\cdot f(t)$ 关闭

$\tau$（或时间常数）的值决定了电路开启和关闭的速度。添加一些常数可以确定电路何时开启和关闭。

为什么不使用拉普拉斯变换？拉普拉斯变换可以为电路的开启和关闭建模无限斜率。在本课程中，我们不会这样做。现实世界可以用 $\tau$ 建模。拉普拉斯变换简单、美观，并且真正令人惊奇的是，它们可以处理无穷大和无穷小。科学家和数学家总是对有助于他们处理无穷大和无穷小障碍的工具感兴趣。到目前为止，本课程一直在处理理想电感器、电阻器、导线、电源等。如果我们要处理理想的开启和关闭，我们不能使用相量。我们将不得不使用拉普拉斯。因此，在这一点上，已经做出了例外。

或者，人们可以简单地将“复频”视为以类似于相量的方式探索更复杂的函数。

复频推导

之前 $V(t)=V_{m}cos(\omega t+\phi )$ 对稳态电路进行建模（从不关闭和打开）。

现在让我们考虑 $V(t)=V_{m}e^{\sigma t}cos(\omega t+\phi )$。西格玛或 $\sigma$ 通常为负数，否则电路会爆炸。将充电问题分成两个问题，并在最后添加结果，称为“叠加”，通常有效。因此，我们可以将两种情况都简化为探索此方程的相量数学。

用欧拉方程代入 $cos(\omega t+\phi )=\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$，我们可以开始一个推导，它表明相量域几乎没有变化！

表达式	笔记
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi }))$	代入
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t})$	重新排列指数
$s=\sigma +j\omega$	定义复频域变量 $s$
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi }e^{st})$	代入后没有区别
$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi }$	定义相量... 没有区别... $s$ 而不是 $j\omega$ 来自导数和积分
$V(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{st})$	我们是否可以假设 $\omega$（角频率）和 $s$（复频率）可以被同等对待？是的... 几乎。

时域到复频域

上述过程表明，将 v(t) 和 i(t) 转换为相量是完全相同的过程。完全不需要考虑 $s$。

端点方程	相量域	复频域
$V=RI$	$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$	$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$
$V=L{\frac {d}{dt}}I$	$\mathbb {V} =jwL\mathbb {I}$	$\mathbb {V} =sL\mathbb {I}$
$I=C{\frac {d}{dt}}V$	$\mathbb {I} =jwC\mathbb {V}$	$\mathbb {I} =sC\mathbb {V}$

有趣的是，复频域算子与拉普拉斯变换算子相同。这就是为什么它们都使用“复频率”来描述 s。

拉普拉斯变换算子之所以复杂，是因为它们对函数的变换方式不同！

然而，正如我们将在后面（在传递函数中）看到，当把电路变成一个黑箱，连接一个驱动源到它，然后描述输出时，驱动函数的变换并不重要。只有导数和积分算子的变换才重要。

复频域中的数学

复频域中的数学运算，即使包含符号，也不需要跟踪${\sqrt {-1}}$。符号 $s$ 包含复数。所有数学程序都在内部以矩形形式运行。用复数数值替换 $s$ 很简单。

$s=\sigma +j\omega$.

复频域到时域

未知函数将类似于：$V(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{st})$ 或 $I(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{st})$。在时域中用s替换，意味着需要对指数进行一些运算。回到时域并不像将未知函数转换为极坐标那样简单。

总结

在创建相量时，找到$s$，而不是$\omega$。在端子关系中用$s$ 替换$j\omega$，以替换微分算子。回到时域时，使用$s=\sigma +j\omega$。

这些示例的目的是探索在复频域分析和拉普拉斯变换中使用符号$s$ 的异同。拉普拉斯变换也使用符号$s$，并将其称为“复频域”。但它们是同一个东西吗？不，它们都使用相同的复频域技术来转换微分和积分算子。但它们使用不同的技术来转换函数。复频域将函数转换为相量，而拉普拉斯变换将算子转换为相量。